Cho phương trình $\log_{3}(\sqrt{x^{2} - 3x + 2}\ \ + 2) + 5^{x^{2} - 3x + 1} = a$. Khẳng định dưới đây,
Cho phương trình $\log_{3}(\sqrt{x^{2} - 3x + 2}\ \ + 2) + 5^{x^{2} - 3x + 1} = a$. Khẳng định dưới đây, đúng hay sai?
Đáp án đúng là: A; E
Quảng cáo
a) b) c) Đặt $t = \sqrt{x^{2} - 3x + 2}$ và giải phương trình đưa về giải bằng phương pháp hàm số.
d) Biện luận số nghiệm dựa trên bảng biến thiên của hàm hợp. Vì $f(t)$ đồng biến và $t \geq 0$, nên để có nghiệm $x$ thì $a \geq f(0)$
e) Đây là bài toán chặn miền giá trị. Ta tìm tập giá trị của $t$ khi $x \in (3;5)$, sau đó tìm tập giá trị tương ứng của vế trái (hàm $f(t)$).
Đáp án: Đúng, Đúng, Sai
a) Đúng. Điều kiện: $x \in \left( {- \infty;1} \right\rbrack \cup \left\lbrack {2; + \infty} \right)$
b) Sai. Đặt $t = \sqrt {{x^2} - 3x + 2} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,t \ge 0 \Rightarrow {x^2} - 3x + 1 = {t^2} - 1$ nên phương trình có dạng:
$\log_{3}(t + 2) + 5^{t^{2} - 1} = 2$
Xét hàm số $f(t) = {\log _3}(t + 2) + {5^{{t^2} - 1}}{\mkern 1mu} $ trên $\left\lbrack {0; + \infty} \right)$.
Có $f'(t) = \dfrac{1}{\left( {t + 2} \right).\ln 2} + 2t.5^{t^{2} - 1}.\ln 5 > 0$ trên $\left\lbrack {0; + \infty} \right)$.
Hàm số đồng biến trên $\left\lbrack {0; + \infty} \right)$ và $f(1) = 2$
PT$\left. \Leftrightarrow f(t) = f(1)\Leftrightarrow t = 1\Leftrightarrow\sqrt{x^{2} - 3x + 2}\ \ = 1 \right.$
$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 3x + 1 = 0\Rightarrow x_{1} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2},x_{2} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \right.$
Do đó pt có hai nghiệm khi $a = 2$
c) Sai. Xét hàm số $f(t) = {\log _3}(t + 2) + {5^{{t^2} - 1}}{\mkern 1mu} $ luôn đồng biến trên $\left\lbrack {0; + \infty} \right)$.
$\left. \Rightarrow\min f(t) = f(0) = \log_{3}2 + \dfrac{1}{5} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm khi $a \geq \log_{3}2 + \dfrac{1}{5}$ và vô nghiệm khi $a < \log_{3}2 + \dfrac{1}{5}$
d) Sai. Phương trình luôn có nghiệm $t \geq 0$ khi $a \geq \log_{3}2 + \dfrac{1}{5}$
Khi đó $\left. x^{2} - 3x + 2 = t^{2}\Leftrightarrow x^{2} - 3x + 2 - t^{2} = 0 \right.$
Để phương trình có 2 nghiệm $x$ phân biệt thì $\left. \Delta > 0\Leftrightarrow 9 - 4\left( {2 - t^{2}} \right) > 0\Leftrightarrow 1 + 4t^{2} > 0 \right.$ (luôn đúng)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a
Mà a nguyên và $a \in \lbrack - 10;10\rbrack$ nên $a \in \left\{ {1;2;...;10} \right\}$
Vây có 10 giá trị a thoả mãn.
e) Đúng. Xét phương trình $x^{2} - 3x + 2 = t^{2}$
Vậy để có ít nhất 1 nghiệm $x \in \left( {3;4} \right)$ thì $\left. t^{2} \in \left( {2;6} \right)\Rightarrow t \in \left( {\sqrt{2};\sqrt{6}} \right) \right.$
Vì hàm $f(t)$ luôn đồng biến nên khi đó $a \in \left( {f\left( \sqrt{2} \right);f\left( \sqrt{6} \right)} \right)$ hay $a \in \left( {6,11;3126,4} \right)$
Mà a nguyên nên $\left. a \in \left\{ {7;8;...;3126} \right\}\Rightarrow \right.$có 3120 giá trị thoả mãn
Đáp án cần chọn là: A; E
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
