Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(3; -4; 1)$, $B(1; 1; -1)$

Câu hỏi số 862997:
Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(3; -4; 1)$, $B(1; 1; -1)$ và $C(2; 0; -3)$. Khi đó

Đúng Sai
a) Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oxy) có toạ độ là $(0; 0; 1)$.
b) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $(2; 1; -1)$.
c) Biết rằng điểm I thoả mãn điều kiện $\overset{\rightarrow}{IA} + 3\overset{\rightarrow}{IB} - 2\overset{\rightarrow}{IC} = \overset{\rightarrow}{0}$. Cao độ của điểm I bằng 2.
d) Xét M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (Oxy). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = MA^{2} + 3MB^{2} - 2MC^{2}$ bằng $\dfrac{13}{2}$.

Đáp án đúng là: S; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:862997
Phương pháp giải

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vectơ.

Giải chi tiết

a) Sai: Hình chiếu của $A(3; -4; 1)$ lên mặt phẳng (Oxy) là điểm có tọa độ $(3; -4; 0)$.

b) Sai: Tọa độ trọng tâm G là $\left( \dfrac{3 + 1 + 2}{3};\dfrac{- 4 + 1 + 0}{3};\dfrac{1 - 1 - 3}{3}\right) = (2; - 1; - 1)$.

c) Đúng: Gọi $I(x;y;z)$. Từ $\overset{\rightarrow}{IA} + 3\overset{\rightarrow}{IB} - 2\overset{\rightarrow}{IC} = \overset{\rightarrow}{0}$, ta có cao độ $z_{I}$:

$1(1 - z_{I}) + 3( - 1 - z_{I}) - 2( - 3 - z_{I}) = 0$

$\left. \Leftrightarrow 1 - z_{I} - 3 - 3z_{I} + 6 + 2z_{I} = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 2z_{I} + 4 = 0\Rightarrow z_{I} = 2 \right.$.

d) Đúng: Giải tương tự câu c) đối với hoành độ và tung độ, suy ra $I\left( {1; - \dfrac{1}{2};2} \right)$.

Chèn điểm I vào biểu thức: $S = 2MI^{2} + (IA^{2} + 3IB^{2} - 2IC^{2})$.

Ta có: $IA^{2} = \dfrac{69}{4}$; $IB^{2} = \dfrac{45}{4}$; $IC^{2} = \dfrac{105}{4}$.

Suy ra $IA^{2} + 3IB^{2} - 2IC^{2} = \dfrac{69}{4} + 3\left( \dfrac{45}{4} \right) - 2\left( \dfrac{105}{4} \right) = - \dfrac{3}{2}$.

Biểu thức trở thành: $S = 2MI^{2} - \dfrac{3}{2}$.

S nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức M là hình chiếu của $I\left( {1; - \dfrac{1}{2};2} \right)$ lên mặt phẳng (Oxy).

Khi đó $M\left( {1; - \dfrac{1}{2};0} \right)$, suy ra $MI^{2} = {(2 - 0)}^{2} = 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất $S = 2.4 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{13}{2}$.

Đáp án cần chọn là: S; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn