Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $A\left( {- 1;4;4} \right),\,\, B\left( {- 4;6;5}

Câu hỏi số 864261:
Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $A\left( {- 1;4;4} \right),\,\, B\left( {- 4;6;5} \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x - 2}{2} = \dfrac{y - 3}{3} = \dfrac{z + 4}{- 5}$

Đúng Sai
a) Hai đường thẳng $AB$ và $d$ chéo nhau
b) Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $d$ bằng $60{^\circ}$
c) Khi điểm $C$ thay đổi trên $d$, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{42}$
d) Đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $AB$ và $d$ đi qua $M\left( {3;3;4} \right)$

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:864261
Phương pháp giải

a) Chứng minh $\overset{\rightarrow}{AB},\,\,\overset{\rightarrow}{u_{d}}$ không cùng phương

Sau đó giải hệ phương trình ta đươc hệ phương trình vô nghiệm

b) $\cos\left( {AB,d} \right) = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{u_{d}}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{AB} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{u_{d}} \right|}$

c) Tìm khoảng cách từ $C$ đến $AB$

d) Viết phương trình đường vuông góc chung

Giải chi tiết

a) Đúng.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 3;2;1} \right),\,\,\overset{\rightarrow}{u_{d}} = \left( {2;3; - 5} \right)$ không cùng phương nên AB và d cắt nhau hoặc chéo nhau

Phương trình đường thẳng AB là $\left\{\begin{array}{l}x=-1-3 t \\ y=4+2 t \\ z=4+t\end{array}\right.$

Xét hệ phương trình $\left. \left\{ \begin{array}{l} {2t_{1} + 2 = - 3t_{2} - 1} \\ {3t_{1} + 3 = 2t_{2} + 4} \\ {- 5t_{1} - 4 = t_{2} + 4} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {t_{1} = \dfrac{- 3}{13}} \\ {t_{2} = - \dfrac{11}{13}} \\ {- \dfrac{15}{13} - 4 = \dfrac{- 11}{13} + 4\,\,\left( \text{vô lý} \right)} \end{array} \right. \right.$

Do đó $AB$ và $d$ chéo nhau

b) Sai. 

Ta có: $\cos\left( {AB,d} \right) = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{u_{d}}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{AB} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{u_{d}} \right|} = \dfrac{\left| {- 5} \right|}{\sqrt{14}.\sqrt{38}} = \dfrac{5\sqrt{133}}{266}$

Do đó $\left( {AB,d} \right) \approx 77,5{^\circ}$

c) Đúng.

Vì $C$ nằm trên $d$ nên $C\left( {2t + 2;3t + 3; - 5t - 4} \right)$

$\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {2t + 3;3t - 1; - 5t - 8} \right)$

Khi đó $\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{AB}} \right\rbrack = \left( {13t + 15; 13t + 21;13t +3} \right)$

Suy ra $d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{\sqrt{\left( {13t + 15} \right)^{2} + \left( {13t + 21} \right)^{2} + \left( {13t + 3} \right)^{2}}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\dfrac{507t^{2} + 1014t + 675}{14}} \geq \sqrt{\dfrac{168}{14}} = \sqrt{12}$

Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác $ABC$ là $\dfrac{1}{2}.\sqrt{12}.\sqrt{14} = \sqrt{42}$

d) Đúng.

Gọi $M = d_{1} \cap AB,\,\, N = d_{1} \cap d$

Ta có: $M\left( {- 3t - 1;2t + 4;t + 4} \right),\,\, N\left( {2u + 2;3u + 3; - 5u - 4} \right)$

Vì $MN$ là đường vuông góc chung nên $\overset{\rightarrow}{MN}.\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{0},\,\,\overset{\rightarrow}{MN}.\overset{\rightarrow}{u_{d}} = \overset{\rightarrow}{0}$

Khi đó $\left. \left\{ \begin{array}{l} {- 3\left( {2u + 3t + 3} \right) + 2\left( {3u - 2t - 1} \right) - 5u - t - 8 = 0} \\ {2\left( {2u + 3t + 3} \right) + 3\left( {3u - 2t - 1} \right) - 5\left( {- 5u - t - 8} \right) = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {- 5u - 14t = 19} \\ {38u + 5t = - 43} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {u = -1} \\ {t = -1} \end{array} \right. \right.$

Do đó $M(2;2;3);N(0;0;1) \Rightarrow\overset{\rightarrow}{NM} = \left( {2;2;2} \right)=2(1;1;1)$

Phương trình đường thẳng $MN$ là $\left\{ \begin{array}{l} {x = t} \\ {y = t} \\ {z = 1+t} \end{array} \right.$

Với $t=3$ thì $x=3;y=3;z=4$

Vậy đường vuông góc chung có đi qua điểm $\left( {3;3;4} \right)$

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn