Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc TN THPT và ĐGNL Hà Nội Ngày 11-12/04/2026
 ↪ TN THPT - Trạm 5 (Free) ↪ ĐGNL Hà Nội (HSA) - Trạm 5
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong một gian triển lãm nghệ thuật, người ta thiết kế một không gian hình hộp chữ nhật $ABCD

Câu hỏi số 864822:
Vận dụng

Trong một gian triển lãm nghệ thuật, người ta thiết kế một không gian hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A'B'C'D'$ có kích thước $AD = 20~\text{m}$, $AB = 10~\text{m}$, $AA' = 5~\text{m}$ và được gắn vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm A, tia Ox chứa điểm D, tia Oy chưa điểm B, tia Oz chứa điểm $A'$ như hình vẽ. Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Người ta căng hai sợi dây cáp phát sáng vào hai đường chéo của hình hộp là $A'C$ và $BD'$. Giá sợi dây cáp là 100 nghìn đồng/mét.

Đúng Sai
a) Tọa độ các điểm $B(0;10;0)$, $C(20;10;0)$, $A'(0;0;5)$, $D'(20;0;5)$.
b) Tổng số tiền cần để mua hai sợi dây cáp phát sáng nói trên là 2613 nghìn đồng (làm tròn đến hàng đơn vi).
c) Mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ có phương trình là $y + 2z - 10 = 0$.
d) Trên dây $A'C$, một điểm sáng $M$ chuyển động đều từ $A'$ đến $C$ với vận tốc $3~\text{m}/\text{s}$. Đồng thời, trên dây $BD'$, điểm sáng N chuyền động đều từ B đến $D'$ với vận tốc $2~\text{m}/\text{s}$. Tính từ khi hai điểm sáng bắt đầu chuyền động đến khi có ít nhất một điểm sáng về đích thì khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm sáng M và N bằng 3,77 m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:864822
Phương pháp giải

a) Gắn hệ trục tọa độ và tìm tọa độ các điểm.

b) Tính độ dài đoạn thẳng

c) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ có $\overset{\rightarrow}{A'C}$ và $\overset{\rightarrow}{A'B}$ là một cặp vectơ chỉ phương.

d) Điểm $X$ chuyển động theo hướng vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ với tốc độ $k$ có vectơ vận tốc là $\overset{\rightarrow}{v} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{u}}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \right|}.k$

Giải chi tiết

a) Đúng: Vì $\left. D \in tia~Ox,~AD = OD = 20\Rightarrow D\left( {20;0;0} \right), \right.$

$\left. B \in tia~Oy,~AB = OB = 10\Rightarrow B\left( {0;10;0} \right); \right.$

$\left. ~A' \in tia~Oy,~AA' = OA' = 5\Rightarrow A'\left( {0;0;5} \right) \right.$.

Suy ra $C\left( {20;10;0} \right),D'\left( {20;0;5} \right),~B'\left( {0;10;5} \right);C'\left( {20;10;5} \right).$

b) Sai: Ta có

$\left. \overset{\rightarrow}{A^{\prime}C} = \left( {20;10; - 5} \right)\Rightarrow A'C = \sqrt{20^{2} + 10^{2} + 5^{2}} = 5\sqrt{21}; \right.$

$\left. \overset{\rightarrow}{BD'} = \left( {20; - 10;5} \right)\Rightarrow BD' = \sqrt{20^{2} + 10^{2} + 5^{2}} = 5\sqrt{21} \right.$.

Tổng số tiền cần để mua hai sợi dây cáp phát sáng là: $100 \times \left( {5\sqrt{21} + 5\sqrt{21}} \right) \approx 4583$ (nghìn đồng).

c) Đúng: Ta có $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}C} = \left( {20;10; - 5} \right),~\overset{\rightarrow}{A'B} = \left( {0;10; - 5} \right).$

Mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ có $\overset{\rightarrow}{A'C}$ và $\overset{\rightarrow}{A'B}$ là một cặp vectơ chỉ phương, khi đó $\overset{\rightarrow}{n_{(A'BC)}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{A'B},\overset{\rightarrow}{A'C}} \right\rbrack = \left( {0; - 100; - 200} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {A'BC} \right).$

Chọn $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {0;1;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ đi qua điểm $A'\left( {0;0;5} \right)$ và nhận $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {0;1;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến, phương trình của mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ là $0\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 2\left( {z - 5} \right) = 0$ hay $y + 2z - 10 = 0.$

d) Đúng: Ta có: $\overset{\rightarrow}{A'C} = \left( {20;10; - 5} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{BD'} = \left( {20; - 10;5} \right)$ suy ra $A'C = BD' = 5\sqrt{21}.$

Điểm $M$ chuyển động từ $A'$ đến $C$ với vận tốc $3m/s$, khi đó vectơ vận tốc của điểm $M$ là:

$\overset{\rightarrow}{v_{M}} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{A'C}}{AC}.3 = \left( {\dfrac{12}{\sqrt{21}};\dfrac{6}{\sqrt{21}};\dfrac{- 3}{\sqrt{21}}} \right)$

Vị trí của điểm $M$ tại thời điểm $t$ là: $M = \left( {\dfrac{12}{\sqrt{21}}t;\dfrac{6}{\sqrt{21}}t;5 - \dfrac{3}{\sqrt{21}}t} \right)$.

Điểm $N$ chuyển động từ $B$ đến $D'$ với vận tốc $2~m/s$, khi đó vectơ vận tốc của điểm $N$ là:

$\overset{\rightarrow}{v_{N}} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{BD'}}{BD'}.2 = \left( {\dfrac{8}{\sqrt{21}};\dfrac{- 4}{\sqrt{21}};\dfrac{2}{\sqrt{21}}} \right)$

Vị trí của điểm $N$ tại thời điểm $t$ là: $N = \left( {\dfrac{8}{\sqrt{21}}t;10 - \dfrac{4}{\sqrt{21}}t;\dfrac{2}{\sqrt{21}}t} \right)$.

Khoảng cách giữa hai điểm $M$ và $N$ là:

$\begin{array}{l} {MN = \sqrt{\left( {\dfrac{12}{\sqrt{21}}t - \dfrac{8}{\sqrt{21}}t} \right)^{2} + \left( {\dfrac{6}{\sqrt{21}}t - 10 + \dfrac{4}{\sqrt{21}}t} \right)^{2} + \left( {5 - \dfrac{3}{\sqrt{21}}t - \dfrac{2}{\sqrt{21}}t} \right)^{2}}} \\ {= \sqrt{\dfrac{47}{7}t^{2} - \dfrac{250}{\sqrt{21}}t + 125}} \end{array}$

Để $MN$ là nhỏ nhất thì $MN^{2}$ nhỏ nhất.

Ta có $MN_{\min}^{2} = \min f(t) = f\left( {\dfrac{250}{\sqrt{21}} \times \dfrac{7}{94}} \right) = \dfrac{2000}{141}$

$\left. \Rightarrow MN_{\min} = \sqrt{\dfrac{2000}{141}} \approx 3,77 \right.$

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn