Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong một gian triển lãm nghệ thuật, người ta thiết kế một không gian hình hộp chữ nhật $ABCD

Câu hỏi số 864822:
Vận dụng

Trong một gian triển lãm nghệ thuật, người ta thiết kế một không gian hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A'B'C'D'$ có kích thước $AD = 20~\text{m}$, $AB = 10~\text{m}$, $AA' = 5~\text{m}$ và được gắn vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm A, tia Ox chứa điểm D, tia Oy chưa điểm B, tia Oz chứa điểm $A'$ như hình vẽ. Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Người ta căng hai sợi dây cáp phát sáng vào hai đường chéo của hình hộp là $A'C$ và $BD'$. Giá sợi dây cáp là 100 nghìn đồng/mét.

Đúng Sai
a) Tọa độ các điểm $B(0;10;0)$, $C(20;10;0)$, $A'(0;0;5)$, $D'(20;0;5)$.
b) Tổng số tiền cần để mua hai sợi dây cáp phát sáng nói trên là 2613 nghìn đồng (làm tròn đến hàng đơn vi).
c) Mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ có phương trình là $y + 2z - 10 = 0$.
d) Trên dây $A'C$, một điểm sáng $M$ chuyển động đều từ $A'$ đến $C$ với vận tốc $3~\text{m}/\text{s}$. Đồng thời, trên dây $BD'$, điểm sáng N chuyền động đều từ B đến $D'$ với vận tốc $2~\text{m}/\text{s}$. Tính từ khi hai điểm sáng bắt đầu chuyền động đến khi có ít nhất một điểm sáng về đích thì khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm sáng M và N bằng 3,77 m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:864822
Phương pháp giải

a) Gắn hệ trục tọa độ và tìm tọa độ các điểm.

b) Tính độ dài đoạn thẳng

c) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ có $\overset{\rightarrow}{A'C}$ và $\overset{\rightarrow}{A'B}$ là một cặp vectơ chỉ phương.

d) Điểm $X$ chuyển động theo hướng vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ với tốc độ $k$ có vectơ vận tốc là $\overset{\rightarrow}{v} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{u}}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \right|}.k$

Giải chi tiết

a) Đúng: Vì $\left. D \in tia~Ox,~AD = OD = 20\Rightarrow D\left( {20;0;0} \right), \right.$

$\left. B \in tia~Oy,~AB = OB = 10\Rightarrow B\left( {0;10;0} \right); \right.$

$\left. ~A' \in tia~Oy,~AA' = OA' = 5\Rightarrow A'\left( {0;0;5} \right) \right.$.

Suy ra $C\left( {20;10;0} \right),D'\left( {20;0;5} \right),~B'\left( {0;10;5} \right);C'\left( {20;10;5} \right).$

b) Sai: Ta có

$\left. \overset{\rightarrow}{A^{\prime}C} = \left( {20;10; - 5} \right)\Rightarrow A'C = \sqrt{20^{2} + 10^{2} + 5^{2}} = 5\sqrt{21}; \right.$

$\left. \overset{\rightarrow}{BD'} = \left( {20; - 10;5} \right)\Rightarrow BD' = \sqrt{20^{2} + 10^{2} + 5^{2}} = 5\sqrt{21} \right.$.

Tổng số tiền cần để mua hai sợi dây cáp phát sáng là: $100 \times \left( {5\sqrt{21} + 5\sqrt{21}} \right) \approx 4583$ (nghìn đồng).

c) Đúng: Ta có $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}C} = \left( {20;10; - 5} \right),~\overset{\rightarrow}{A'B} = \left( {0;10; - 5} \right).$

Mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ có $\overset{\rightarrow}{A'C}$ và $\overset{\rightarrow}{A'B}$ là một cặp vectơ chỉ phương, khi đó $\overset{\rightarrow}{n_{(A'BC)}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{A'B},\overset{\rightarrow}{A'C}} \right\rbrack = \left( {0; - 100; - 200} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {A'BC} \right).$

Chọn $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {0;1;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ đi qua điểm $A'\left( {0;0;5} \right)$ và nhận $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {0;1;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến, phương trình của mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ là $0\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 2\left( {z - 5} \right) = 0$ hay $y + 2z - 10 = 0.$

d) Đúng: Ta có: $\overset{\rightarrow}{A'C} = \left( {20;10; - 5} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{BD'} = \left( {20; - 10;5} \right)$ suy ra $A'C = BD' = 5\sqrt{21}.$

Điểm $M$ chuyển động từ $A'$ đến $C$ với vận tốc $3m/s$, khi đó vectơ vận tốc của điểm $M$ là:

$\overset{\rightarrow}{v_{M}} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{A'C}}{AC}.3 = \left( {\dfrac{12}{\sqrt{21}};\dfrac{6}{\sqrt{21}};\dfrac{- 3}{\sqrt{21}}} \right)$

Vị trí của điểm $M$ tại thời điểm $t$ là: $M = \left( {\dfrac{12}{\sqrt{21}}t;\dfrac{6}{\sqrt{21}}t;5 - \dfrac{3}{\sqrt{21}}t} \right)$.

Điểm $N$ chuyển động từ $B$ đến $D'$ với vận tốc $2~m/s$, khi đó vectơ vận tốc của điểm $N$ là:

$\overset{\rightarrow}{v_{N}} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{BD'}}{BD'}.2 = \left( {\dfrac{8}{\sqrt{21}};\dfrac{- 4}{\sqrt{21}};\dfrac{2}{\sqrt{21}}} \right)$

Vị trí của điểm $N$ tại thời điểm $t$ là: $N = \left( {\dfrac{8}{\sqrt{21}}t;10 - \dfrac{4}{\sqrt{21}}t;\dfrac{2}{\sqrt{21}}t} \right)$.

Khoảng cách giữa hai điểm $M$ và $N$ là:

$\begin{array}{l} {MN = \sqrt{\left( {\dfrac{12}{\sqrt{21}}t - \dfrac{8}{\sqrt{21}}t} \right)^{2} + \left( {\dfrac{6}{\sqrt{21}}t - 10 + \dfrac{4}{\sqrt{21}}t} \right)^{2} + \left( {5 - \dfrac{3}{\sqrt{21}}t - \dfrac{2}{\sqrt{21}}t} \right)^{2}}} \\ {= \sqrt{\dfrac{47}{7}t^{2} - \dfrac{250}{\sqrt{21}}t + 125}} \end{array}$

Để $MN$ là nhỏ nhất thì $MN^{2}$ nhỏ nhất.

Ta có $MN_{\min}^{2} = \min f(t) = f\left( {\dfrac{250}{\sqrt{21}} \times \dfrac{7}{94}} \right) = \dfrac{2000}{141}$

$\left. \Rightarrow MN_{\min} = \sqrt{\dfrac{2000}{141}} \approx 3,77 \right.$

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn