Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{- x^{2} + 10x - 12}{x}$ có đồ thị
Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{- x^{2} + 10x - 12}{x}$ có đồ thị $(C)$
| Đúng | Sai | |
|---|---|---|
| a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\dfrac{7}{2}} \right)$ | ||
| b) Hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận xiên là $y = - x + 10$ | ||
| c) Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là $4\sqrt{15}$ | ||
| d) Trong không gian $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là 1m) mô hình hóa một phần đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{- x^{2} + 10x - 12}{x}\,\,\left( {x > 0} \right)$ là bờ của phần đất nhô ra. Người ta muốn quây một ao nuôi tôm dạng hình tam giác $ABC$ với $A\left( {- 6;6} \right)$, đường thẳng $BC$ là tiếp tuyến với $(C)$ nhận $B$ làm tiếp điểm và $BC = 10m$. Diện tích ao nuôi tôm lớn nhất là $20\sqrt{5}m^{2}$ |
Đáp án đúng là: S; Đ; Đ; Đ
Quảng cáo
a) Lập bảng xét dấu
b) Tìm tiệm cận xiên
c) Từ câu a ta tìm được 2 điểm cực trị
d) Gọi $B\left( {c;10 - c - \dfrac{12}{c}} \right),\,\, c > 0$
Viết phương trình đường thẳng $BC$
Tính khoảng cách từ $A$ đến $BC$ theo $c$, sau đó tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách đó
a) Sai. $y = f(x) = \dfrac{- x^{2} + 10x - 12}{x} = - x + 10 - \dfrac{12}{x}$
$\begin{array}{l} {f'(x) = \dfrac{12}{x^{2}} - 1} \\ \left. f'(x) = 0\Leftrightarrow\dfrac{12}{x^{2}} - 1 = 0\Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{3} \right. \end{array}$
Bảng xét dấu:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {- 2\sqrt{3};0} \right)$ và $\left( {0;2\sqrt{3}} \right)$
Vì $2\sqrt{3} < \dfrac{7}{2}$ nên hàm số không đồng biến trên $\left( {0;\dfrac{7}{2}} \right)$
b) Đúng. Ta có: $y = f(x) = \dfrac{- x^{2} + 10x - 12}{x} = - x + 10 - \dfrac{12}{x}$
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = - x + 10$
c) Đúng. Với $x = - 2\sqrt{3}$ thì $y = 10 + 4\sqrt{3}$ nên $A\left( {- 2\sqrt{3};10 + 4\sqrt{3}} \right)$
Với $x = 2\sqrt{3}$ thì $y = 10 - 4\sqrt{3}$ nên $B\left( {2\sqrt{3};10 - 4\sqrt{3}} \right)$
Vậy $AB = \sqrt{\left( {4\sqrt{3}} \right)^{2} + \left( {- 8\sqrt{3}} \right)^{2}} = 4\sqrt{15}$
d) Gọi $B\left( {c;10 - c - \dfrac{12}{c}} \right),\,\, c > 0$
Khi đó $k_{BC} = y'(c) = \dfrac{12}{c^{2}} - 1$
Phương trình đường thẳng $BC$ là $(d):y = \left( {\dfrac{12}{c^{2}} - 1} \right)\left( {x - c} \right) + 10 - c - \dfrac{12}{c}$
Hay $(d):\,\,\left( {\dfrac{12}{c^{2}} - 1} \right)x - y + 10 - \dfrac{24}{c} = 0$
Khoảng cách từ $A$ tới $(d)$ là $d = \dfrac{\left| {\left( {\dfrac{12}{c^{2}} - 1} \right).\left( {- 6} \right) - 6 + 10 - \dfrac{24}{c}} \right|}{\sqrt{\left( {\dfrac{12}{c^{2}} - 1} \right)^{2} + 1}}$
$= \dfrac{\left| {- \dfrac{72}{c^{2}} - \dfrac{24}{c} + 10} \right|}{\sqrt{\left( {\dfrac{12}{c^{2}} - 1} \right)^{2} + 1}} = \sqrt{\dfrac{\left( {\dfrac{- 72}{c^{2}} - \dfrac{24}{c} + 10} \right)^{2}}{\left( {\dfrac{12}{c^{2}} - 1} \right)^{2} + 1}}$
Xét $h(c) = \dfrac{\left( {\dfrac{- 72}{c^{2}} - \dfrac{24}{c} + 10} \right)^{2}}{\left( {\dfrac{12}{c^{2}} - 1} \right)^{2} + 1},\,\, c > 0$
$\begin{array}{l} {h'(c) = 48\left( {- \dfrac{72}{c^{2}} - \dfrac{24}{c} + 10} \right)\left( {c^{4} + c^{3} + 24c - 72} \right)} \\ \left. h'(c) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {c = 2} \\ {c = \dfrac{6}{5}\left( {1 + \sqrt{6}} \right)} \end{array} \right.,\,\, c > 0 \right. \end{array}$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của $h(c)$ trên $\left( {0; + \infty} \right)$ là $80$
Do đó $\max d = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$
Vậy diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất là $\max S = \dfrac{1}{2}.4\sqrt{5}.10 = 20\sqrt{5}$
Đáp án cần chọn là: S; Đ; Đ; Đ
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
