Một hộ gia đình muốn xây dựng một kho chứa mini dạng khối tứ diện OABC tận dụng

Câu hỏi số 941317:

Vận dụng

Một hộ gia đình muốn xây dựng một kho chứa mini dạng khối tứ diện OABC tận dụng góc tường nhà (với O là góc tường, ba cạnh OA, OB, OC nằm trên ba mép tường vuông góc). Để lắp đặt hệ thống thông gió, mặt phía trước của kho (mặt phẳng ABC) bắt buộc phải đi qua một van điều tiết đặt tại vị trí M có tọa độ $M(1; 2; 1)$ (đơn vị tính là mét). Gia đình muốn thiết kế kho sao cho thể tích của kho là nhỏ nhất để không làm ảnh hưởng quá nhiều đến diện tích sinh hoạt của sân chung. Khi kho được thiết kế với thể tích nhỏ nhất, hãy tính khoảng cách từ góc tường O đến mặt phẳng (ABC).

A triangle mesh with a box and rocks in it

AI-generated content may be incorrect.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941317

Phương pháp giải

Lập phương trình (ABC) theo đoạn chắn, áp dụng BĐT AM – GM để tìm thể tích kho nhỏ nhất. Từ đó suy ra các hệ số của phương trình (ABC) và tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi tọa độ các điểm trên các trục là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), và C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Mặt phẳng (ABC) là mặt trước của kho, có phương trình theo đoạn chắn là: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.

Vì mặt phẳng này đi qua điểm M(1; 2; 1), ta có: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{1}{c} = 1$.

Áp dụng BĐT AM – GM cho ba số dương a, b, c: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{1}{c}}$

$\left. \Leftrightarrow 1 \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{2}{abc}}\Leftrightarrow\sqrt[3]{\dfrac{2}{abc}} \leq \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow\dfrac{2}{abc} \leq \dfrac{1}{27}\Leftrightarrow abc \geq 54 \right.$.

Thể tích kho là: $V_{OABC} = \dfrac{1}{6}abc \geq \dfrac{1}{6}.54 = 9$.

Dấu “=” xảy ra $\left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \right.$ $a = 3$, $b = 6$, $c = 3$.

Vậy (ABC): $\left. \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{3} = 1\Leftrightarrow 2x + y + 2z - 6 = 0 \right.$.

$d(O,(ABC)) = \dfrac{\left| {2.0 + 1.0 + 2.0 - 6} \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 2$.

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.