Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định, liên tục và có đạo hàm

Câu hỏi số 941390:

Thông hiểu

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$. Chọn các khẳng định đúng

Nếu $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số không có cực trị trên $\left( {a;b} \right)$.

Nếu $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số không có cực trị trên $\left( {a;b} \right)$.

Nếu $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại điểm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$ thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ song song hoặc trùng với trục hoành.

Nếu $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$ thì $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;{x_0}} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {{x_0};b} \right)$.

Đáp án đúng là: A; B; C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941390

Phương pháp giải

Mối liên hệ giữa tính đơn điệu và cực trị: Nếu hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên một khoảng thì đạo hàm $f'(x)$ không đổi dấu trên khoảng đó, do vậy hàm số không có cực trị.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(x_0; f(x_0))$ thuộc đồ thị hàm số $y = f(x)$ là $k = f'(x_0)$.

Tính chất cục bộ của cực trị: Điểm cực trị chỉ đánh giá sự thay đổi chiều biến thiên của hàm số trong một lân cận nhỏ xung quanh nó, không mang tính chất toàn cục trên toàn bộ tập xác định.

Giải chi tiết

Xét khẳng định A và B:

Khi hàm số $f(x)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng $(a; b)$, ta có $f'(x) \ge 0$ (hoặc $f'(x) \le 0$) với mọi $x \in (a; b)$ và chỉ bằng $0$ tại hữu hạn điểm. Điều này đồng nghĩa với việc $f'(x)$ không bị đổi dấu trên toàn bộ khoảng $(a; b)$. Theo điều kiện cần và đủ của cực trị, đạo hàm phải đổi dấu khi đi qua điểm $x_0$ thì hàm số mới đạt cực trị tại đó.

$\Rightarrow$ Khẳng định A và B đều ĐÚNG.

Xét khẳng định C:

Vì đề bài cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(a; b)$, nên nếu hàm số đạt cực trị tại $x_0 \in (a; b)$ thì theo định lý Fermat, đạo hàm tại điểm đó triệt tiêu, tức là $f'(x_0) = 0$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(x_0; f(x_0))$ là $k = f'(x_0) = 0$. Một đường thẳng có hệ số góc bằng $0$ sẽ có phương trình dạng $y = c$ (hằng số), đường thẳng này luôn song song hoặc trùng với trục hoành $Ox$.

$\Rightarrow$ Khẳng định C ĐÚNG.

Xét khẳng định D:

Việc hàm số đạt cực đại tại $x_0 \in (a; b)$ chỉ đảm bảo rằng tồn tại một lân cận nhỏ $(x_0 - h; x_0 + h) \subset (a; b)$ (với $h > 0$) sao cho $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(x_0 - h; x_0)$ và nghịch biến trên khoảng $(x_0; x_0 + h)$.

Khẳng định này ép buộc hàm số phải duy trì tính đơn điệu trên toàn bộ khoảng lớn $(a; x_0)$ và $(x_0; b)$ là một sai lầm, vì trong các khoảng này hàm số có thể đổi chiều biến thiên nhiều lần (có thêm các điểm cực đại, cực tiểu khác).

$\Rightarrow$ Khẳng định D SAI.

Các khẳng định đúng trong câu hỏi này là: A, B và C.

Đáp án cần chọn là: A; B; C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.