Tính tổng các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành

Câu hỏi số 941713:

Vận dụng

Tính tổng các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân $x^{3} - 7x^{2} + 2\left( {m^{2} + 6m} \right)x - 8 = 0$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: -6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941713

Phương pháp giải

Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ lập thành một cấp số nhân.

Chứng minh $x_{1}x_{2}x_{3} = 8$ và suy ra $x_{2} = 2$

Thay nghiệm $x = 2$ tìm m và thử lại

Giải chi tiết

Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ lập thành một cấp số nhân.

Ta có $\left. x^{3} - 7x^{2} + 2\left( {m^{2} + 6m} \right)x - 8 = \left( {x - x_{1}} \right)\left( {x - x_{2}} \right)\left( {x - x_{3}} \right),\forall m \in {\mathbb{R}}\Rightarrow x_{1}x_{2}x_{3} = 8 \right.$.

Theo tính chất của cấp số nhân $x_{1}x_{3} = x_{2}^{2}$.

Suy ra $\left. x_{2}^{3} = 8\Rightarrow x_{2} = 2 \right.$.

Thay nghiệm $x = x_{2} = 2$ vào phương trình đã cho, ta có

$\left. 8 - 28 + 2\left( {m^{2} + 6m} \right) \cdot 2 - 8 = 0\Leftrightarrow 4m^{2} + 24m - 28 = 0\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = 1} \\ {m = - 7.} \end{array} \right. \right.$

Thử lại với các giá trị $m$ tìm được.

Với $m = 1$, ta có phương trình $\left. x^{3} - 7x^{2} + 14x - 8 = 0\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 4} \\ {x = 2} \\ {x = 1} \end{array} \right. \right.$ (thoả mãn).

Với $m = - 7$, ta có phương trình $\left. x^{3} - 7x^{2} + 14x - 8 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 4} \\ {x = 2} \\ {x = 1} \end{array} \right. \right.$ (thoả mãn).

Vậy $m = 1;m = - 7$ là các giá trị cần tìm.

Đáp án cần điền là: -6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.