Cắt một miếng bìa giấy hình vuông và xếp thành một hình

Câu hỏi số 941734:

Vận dụng

Cắt một miếng bìa giấy hình vuông và xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình bên. Biết cạnh hình vuông bằng $20\text{cm},OM = x\text{cm}$. Tìm $x$ để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất.

A. $x = 9\text{cm}$.

B. $x = 8\text{cm}$.

C. $x = 6\text{cm}$.

D. $x = 7\text{cm}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941734

Phương pháp giải

Tính độ dài cạnh bên, đường cao hình chóp để suy ra thể tích

Xét hàm thể tích, tính đạo hàm và khảo sát tìm GTLN

Giải chi tiết

Điều kiện: $0 < x < 10$. Gọi hình chóp đều là $S.MNPQ$ và $O$ tâm hình vuông $MNPQ$.

Vì $OM = x$ nên cạnh hình vuông đáy là $x\sqrt{2}$. Diện tích đáy là $2x^{2}$.

Ta có $AM = 10 - x$.

Cạnh bên hình chóp đều là $SM = \sqrt{10^{2} + {(10 - x)}^{2}}$.

Đường cao hình chóp là $SO = \sqrt{SM^{2} - OM^{2}} = \sqrt{200 - 20x} = \sqrt{20\left( {10 - x} \right)}$.

Thể tích khối chóp là $V = \dfrac{1}{3}2x^{2}\sqrt{20\left( {10 - x} \right)} = \dfrac{4\sqrt{5}}{3}\sqrt{- x^{5} + 10x^{4}}$

Xét hàm số $f(x) = - x^{5} + 10x^{4}$ trên đoạn $\left\lbrack {0;10} \right\rbrack$.

Ta có $f'(x) = - 5x^{4} + 40x^{3} = 5x^{3}\left( {8 - x} \right)$. Do đó $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 8.\ } \end{array} \right. \right.$

Tính được $f(0) = 0,f(10) = 0$ và $f(8) = 2^{13}$. Suy ra $V \leq \dfrac{2^{8}\sqrt{10}}{3}$.

Đẳng thức xảy ra khi $x = 8$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.