Một hình bông tuyết được xây dựng theo mô hình như sau (xem hình vẽ).Ban đầu $\left( {n = 0}

Câu hỏi số 942659:

Vận dụng

Một hình bông tuyết được xây dựng theo mô hình như sau (xem hình vẽ).

Ban đầu $\left( {n = 0} \right)$, xét tam giác đều có độ dài cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài). Bước thứ nhất, chia các cạnh của tam giác thành ba phần bằng nhau và dựng về phía ngoài một tam giác đều có một cạnh là đoạn ở giữa trên mỗi cạnh. Sau khi dựng được các tam giác đều ở phía ngoài thì xóa tất cả các cạnh ở giữa. Tiếp theo, ở bước thứ hai, chia tất cả các cạnh của hình đa giác ở bước một thành ba phần bằng nhau, sau đó lại dựng một tam giác đều trên mỗi cạnh với cạnh của tam giác là đoạn ở giữa rồi xóa đi chính đoạn này. Lặp lại quá trình này, ta thu được hình bông tuyết Von Kock. Độ dài của hình bông tuyết Von Kock tại bước thứ 12 bằng bao nhiêu?

A. $\dfrac{4^{12}}{3^{11}}$.

B. $\dfrac{4^{11}}{3^{11}}$.

C. $\dfrac{3^{12}}{4^{11}}$.

D. $\dfrac{4^{12}}{3^{12}}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942659

Phương pháp giải

Xác định quy luật tạo hình: Mỗi cạnh của đa giác ở bước $n - 1$ được chia làm 3 phần, phần giữa được thay bằng 2 cạnh của tam giác đều. Do đó, một đoạn thẳng ở bước $n - 1$ sẽ tạo thành 4 đoạn thẳng mới ở bước n.

Lập công thức tổng quát cho chu vi (độ dài đường gấp khúc) ở bước thứ n dựa trên cấp số nhân.

Tính giá trị cụ thể tại $n = 12$.

Giải chi tiết

Gọi $P_{n}$ là độ dài (chu vi) của hình bông tuyết tại bước thứ $n$.

Bước $n = 0$: Hình là một tam giác đều cạnh bằng 1. Chu vi $P_{0} = 3 \cdot 1 = 3$.

Bước $n = 1$: Mỗi cạnh độ dài 1 được thay bằng 4 đoạn nhỏ có độ dài $\dfrac{1}{3}$.

Tổng số cạnh là $3 \cdot 4 = 12$. Độ dài mỗi cạnh là $\dfrac{1}{3}$.

Chu vi $P_{1} = 12 \cdot \dfrac{1}{3} = 3 \cdot \dfrac{4}{3} = P_{0} \cdot \dfrac{4}{3}$.

Bước $n$ tổng quát: Tại mỗi bước, chiều dài của mỗi cạnh giảm đi $\dfrac{1}{3}$, nhưng số lượng cạnh tăng lên gấp 4 lần. Do đó, chu vi của hình mới sẽ bằng $\dfrac{4}{3}$ chu vi của hình ở bước ngay trước đó. Ta có cấp số nhân:

$P_{n} = P_{n - 1} \cdot \dfrac{4}{3} = P_{0} \cdot \left( \dfrac{4}{3} \right)^{n} = 3 \cdot \left( \dfrac{4}{3} \right)^{n}$

Tại bước thứ 12 ($n = 12$), độ dài của hình bông tuyết là: $P_{12} = 3 \cdot \left( \dfrac{4}{3} \right)^{12} = \dfrac{4^{12}}{3^{11}}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.