Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;1;2} \right),B\left( {2;0;0}

Câu hỏi số 942666:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;1;2} \right),B\left( {2;0;0} \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z - 1}{2}$. Đường thẳng $\text{Δ}$ đi qua $A$, cắt $d$ và cách $B$ một khoảng nhỏ nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $\text{Δ}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1,14

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942666

Phương pháp giải

Sử dụng tham số hóa tọa độ giao điểm $M$ của $\Delta$ và $d$.

Lập hàm số biểu diễn bình phương khoảng cách $d{(B,\Delta)}^{2}$ theo tham số $t$.

Tìm min của hàm số bằng đạo hàm, từ đó rút ra vector chỉ phương của $\Delta$ và tính khoảng cách từ $O$.

Giải chi tiết

Gọi M là giao điểm của $\Delta$ và $d$.

Do $\left. M \in d\Rightarrow M(1 + 2t;2 + t;1 + 2t) \right.$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và $M$ có vector chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{AM} = (2t;t + 1;2t - 1)$.

Vector $\overset{\rightarrow}{AB} = (1; - 1; - 2)$ nên $\left| \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB};\overset{\rightarrow}{AM}} \right\rbrack \right| = \left( {3;1 - 6t;3t + 1} \right)$

Ta có công thức khoảng cách $d(B,\Delta) = \dfrac{\left| {\lbrack\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AM}\rbrack} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{AM} \right|} = \dfrac{\sqrt{9 + \left( {6t - 1} \right)^{2} + \left( {3t + 1} \right)^{2}}}{\sqrt{4t^{2} + \left( {t + 1} \right)^{2} + \left( {2t - 1} \right)^{2}}} = \sqrt{\dfrac{45t^{2} - 6t + 11}{9t^{2} - 2t + 2}}$.

Đặt $\left. f(t) = \dfrac{45t^{2} - 6t + 11}{9t^{2} - 2t + 2}\Rightarrow f'(t) = \dfrac{- 36t^{2} - 18t + 10}{{(9t^{2} - 2t + 2)}^{2}} \right.$

$\left. \Rightarrow f'(t) = 0\Rightarrow 18t^{2} + 9t - 5 = 0\Rightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {t = \dfrac{1}{3}} \\ {t = - \dfrac{5}{6}} \end{matrix} \right. \right.$

Lập bảng biến thiên, ta thấy $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = - \dfrac{5}{6}$.

Thay $t = - \dfrac{5}{6}$ vào $\overset{\rightarrow}{AM}$, ta có $\overset{\rightarrow}{AM} = \left( {- \dfrac{5}{3};\dfrac{1}{6}; - \dfrac{8}{3}} \right)$.

Chọn vector chỉ phương của $\Delta$ là: ${\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta} = 6\overset{\rightarrow}{AM} = ( - 10;1; - 16)$.

Yêu cầu bài toán là tính khoảng cách từ $O(0;0;0)$ đến $\Delta$.

Đường thẳng $\Delta$ qua $A(1;1;2)$ có $\overset{\rightarrow}{OA} = (1;1;2)$ và $\lbrack\overset{\rightarrow}{OA},{\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta}\rbrack = ( - 18; - 4;11)$

Khoảng cách cần tìm: $d(O,\Delta) = \dfrac{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{OA},{\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta}\rbrack \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta} \right|} = \dfrac{\sqrt{{( - 18)}^{2} + {( - 4)}^{2} + 11^{2}}}{\sqrt{{( - 10)}^{2} + 1^{2} + {( - 16)}^{2}}} = \dfrac{\sqrt{461}}{\sqrt{357}} \approx 1,14$

Đáp án cần điền là: 1,14

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.