Bạn An muốn đúc một mô hình người tuyết. Để tạo hình đầu và thân của người tuyết,

Câu hỏi số 942667:

Vận dụng

Bạn An muốn đúc một mô hình người tuyết. Để tạo hình đầu và thân của người tuyết, khuôn đúc được ghép lại từ hai hình cầu có bán kính lần lượt là $R = 26\text{~cm}$ và $r = \sqrt{149}\text{cm}$. Hai hình cầu này được cắt bỏ một phần chỏm cầu và được ghép lại với nhau theo một đường tròn có bán kính $r' = 10\text{~cm}$. Thể tích người tuyết sau khi đúc (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị và tính theo đơn vị là $dm^{3}$) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 80

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942667

Phương pháp giải

Mô hình người tuyết gồm hai khối cầu bị cắt đi một phần chỏm cầu để ghép lại với nhau. Thể tích của người tuyết bằng tổng thể tích của hai khối cầu ban đầu trừ đi phần thể tích của hai chỏm cầu bị cắt bỏ.

Tính khoảng cách từ tâm mỗi khối cầu đến mặt phẳng cắt (đường tròn giao tuyến).

Tính chiều cao của mỗi chỏm cầu bị cắt.

Áp dụng công thức tính thể tích chỏm cầu: $V = \pi h^{2}\left( {R - \dfrac{h}{3}} \right)$ hoặc $V = \dfrac{\pi h}{6}(3{r'}^{2} + h^{2})$ để tìm phần bị cắt.

Cộng thể tích phần còn lại của hai khối cầu và đổi đơn vị ra $dm^{3}$.

Giải chi tiết

Đối với khối cầu lớn (thân người tuyết):

Bán kính R = 26cm. Bán kính đường tròn giao tuyến $r' = 10\text{~cm}$.

Khoảng cách từ tâm khối cầu lớn đến mặt phẳng cắt: $OH = \sqrt{R^{2} - {r'}^{2}} = \sqrt{26^{2} - 10^{2}} = 24\text{cm}$.

Chiều cao của chỏm cầu bị cắt: $h_{1} = R - d_{1} = 26 - 24 = 2\text{cm}$.

Thể tích chỏm cầu lớn bị cắt: $V_{1} = \pi h_{1}^{2}\left( {R - \dfrac{h_{1}}{3}} \right) = \pi \cdot 2^{2}\left( {26 - \dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{304\pi}{3}\text{(cm}^{3}\text{)}$.

Thể tích ban đầu của khối cầu lớn: $V_{R} = \dfrac{4}{3}\pi R^{3} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 26^{3} = \dfrac{70304\pi}{3}\text{(cm}^{3}\text{)}$.

Thể tích phần còn lại của thân: $V_{T} = V_{R} - V_{1} = \dfrac{70304\pi}{3} - \dfrac{304\pi}{3} = \dfrac{70000\pi}{3}\text{(cm}^{3}\text{)}$.

Đối với khối cầu nhỏ (đầu người tuyết):

Bán kính $r = \sqrt{149}\text{~cm}$.

Khoảng cách từ tâm khối cầu nhỏ đến mặt phẳng cắt: $d_{2} = \sqrt{r^{2} - {r'}^{2}} = \sqrt{149 - 10^{2}} = 7c\text{m}$.

Chiều cao của chỏm cầu bị cắt: $h_{2} = r - d_{2} = \sqrt{149} - 7\text{(cm)}$.

Thể tích chỏm cầu nhỏ bị cắt $V_{2} = \dfrac{\pi h_{2}}{6}(3{r'}^{2} + h_{2}^{2}) = \dfrac{\pi(\sqrt{149} - 7)}{6}\left\lbrack {3.10^{2} + {(\sqrt{149} - 7)}^{2}} \right\rbrack$

$\left. \Rightarrow V_{2} = \dfrac{\pi}{3}(298\sqrt{149} - 2786)\text{(cm}^{3}\text{)} \right.$.

Thể tích ban đầu của khối cầu nhỏ: $V_{r} = \dfrac{4}{3}\pi r^{3} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 149\sqrt{149} = \dfrac{596\pi\sqrt{149}}{3}\text{~(cm}^{3}\text{)}$.

Thể tích phần còn lại của đầu: $V_{Ð} = V_{r} - V_{2} = \dfrac{\pi}{3}(298\sqrt{149} + 2786)\text{(cm}^{3}\text{)}$.

Thể tích tổng cộng của người tuyết:

$V = V_{T} + V_{Ð} = \dfrac{70000\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3}(298\sqrt{149} + 2786) = \dfrac{\pi}{3}(72786 + 298\sqrt{149}) \approx 80030,56\text{cm}^{3}$ ~ 80 dm³

Đáp án cần điền là: 80

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.