Cho đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0$ có tâm I và đường thẳng $\Delta:\sqrt{2}x + my + 1 -

Câu hỏi số 942894:

Vận dụng

Cho đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0$ có tâm I và đường thẳng $\Delta:\sqrt{2}x + my + 1 - \sqrt{2} = 0$. Tìm m để đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt A, B để diện tích tam giác IAB là lớn nhất

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942894

Phương pháp giải

Diện tích tam giác IAB được tính theo công thức $S = \dfrac{1}{2}IA \cdot IB \cdot \sin(\widehat{AIB})$.

Diện tích này lớn nhất khi $\sin(\widehat{AIB}) = 1$, tức tam giác IAB vuông tại I.

Tính khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ theo R và giải phương trình tìm m.

Giải chi tiết

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; - 2)$, bán kính $R = \sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} - ( - 4)} = 3$.

Diện tích tam giác $IAB$ là $S = \dfrac{1}{2}R^{2}\sin(\widehat{AIB}) = \dfrac{9}{2}\sin(\widehat{AIB})$.

$S_{max} = \dfrac{9}{2}$ khi $\widehat{AIB} = 90^{{^\circ}}$.

Khi đó, khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ là $d(I,\Delta) = \dfrac{R}{\sqrt{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$.

Ta có: $\left. \dfrac{\left| \sqrt{2} \cdot 1 + m( - 2) + 1 - \sqrt{2} \right|}{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + m^{2}}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\dfrac{|1 - 2m|}{\sqrt{2 + m^{2}}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} \right.$.

$\left. \Leftrightarrow 2{(1 - 2m)}^{2} = 9(2 + m^{2}) \right.$

$\left. \Leftrightarrow 8m^{2} - 8m + 2 = 18 + 9m^{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(m + 4)}^{2} = 0\Leftrightarrow m = - 4 \right.$.

Đáp án cần điền là: -4

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10