Cho đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0$ có tâm I và đường thẳng $\Delta:\sqrt{2}x + my + 1 -

Câu hỏi số 942894:

Vận dụng

Cho đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0$ có tâm I và đường thẳng $\Delta:\sqrt{2}x + my + 1 - \sqrt{2} = 0$. Tìm m để đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt A, B để diện tích tam giác IAB là lớn nhất

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942894

Phương pháp giải

Diện tích tam giác IAB được tính theo công thức $S = \dfrac{1}{2}IA \cdot IB \cdot \sin(\widehat{AIB})$.

Diện tích này lớn nhất khi $\sin(\widehat{AIB}) = 1$, tức tam giác IAB vuông tại I.

Tính khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ theo R và giải phương trình tìm m.

Giải chi tiết

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; - 2)$, bán kính $R = \sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} - ( - 4)} = 3$.

Diện tích tam giác $IAB$ là $S = \dfrac{1}{2}R^{2}\sin(\widehat{AIB}) = \dfrac{9}{2}\sin(\widehat{AIB})$.

$S_{max} = \dfrac{9}{2}$ khi $\widehat{AIB} = 90^{{^\circ}}$.

Khi đó, khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ là $d(I,\Delta) = \dfrac{R}{\sqrt{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$.

Ta có: $\left. \dfrac{\left| \sqrt{2} \cdot 1 + m( - 2) + 1 - \sqrt{2} \right|}{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + m^{2}}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\dfrac{|1 - 2m|}{\sqrt{2 + m^{2}}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} \right.$.

$\left. \Leftrightarrow 2{(1 - 2m)}^{2} = 9(2 + m^{2}) \right.$

$\left. \Leftrightarrow 8m^{2} - 8m + 2 = 18 + 9m^{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(m + 4)}^{2} = 0\Leftrightarrow m = - 4 \right.$.

Đáp án cần điền là: -4

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.