Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với
Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với kích thước: $AD = 8$ mét, $AB = 6$ mét, $AA' = 4$ mét. Kỹ sư thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ để số hóa căn phòng như sau: Gốc tọa độ $O\left( {0;0;0} \right)$ đặt tại $A$; các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt trùng với các cạnh $AD$, $AB$, $AA'$ (chiều dương lần lượt từ $A$ đến $D$, từ $A$ đến $B$, từ $A$ đến $A'$, đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Hệ thống giám sát có một camera gắn tại tâm $S$ của mặt trần $A'B'C'D'$ và một cảm biến hồng ngoại gắn tại đỉnh $C$. Camera đang giám sát một bức tranh được treo chính giữa bức tường $CDD'C',$ gọi $P$ là tâm của bức tranh (cũng là tâm của hình chữ nhật $CDD'C').$
| Đúng | Sai | |
|---|---|---|
| a) Tọa độ vị trí lắp đặt camera là $S(4;3;4)$. | ||
| b) Khoảng cách từ camera đến tâm bức tranh $P$ là 5 mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) | ||
| c) Có yêu cầu góc tạo bởi trục thẳng đứng của giá treo camera (phương song song $Oz$, hướng xuống) và tia nhìn từ camera đến tâm bức tranh $\left( \overset{\rightarrow}{SP} \right)$ phải nhỏ hơn $60{^\circ}$. Thiết kế hiện tại thỏa mãn yêu cầu này. | ||
| d) Để tránh chói camera, kỹ sư đã lắp một trục đỡ đèn chiếu sáng nghệ thuật, trục đèn được chọn vuông góc với mặt phẳng $(SPC).$ Trục đèn nhận $\overset{\rightarrow}{u} = (3;4;6)$ là một vectơ chỉ phương. |
Đáp án đúng là: Đ; S; S; Đ
Quảng cáo
Xác định toạ độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật và độ dài các cạnh.
Tính khoảng cách giữa hai điểm: $d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$.
Góc giữa hai vectơ $\overset{\rightarrow}{u},\overset{\rightarrow}{v}$: $\cos(\overset{\rightarrow}{u},\overset{\rightarrow}{v}) = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{v} \right|}$.
Vectơ chỉ phương của trục đèn vuông góc với mặt phẳng $(SPC)$ là tích có hướng của hai vectơ $\overset{\rightarrow}{SP}$ và $\overset{\rightarrow}{SC}$.
Từ giả thiết, có tọa độ các đỉnh:
$A(0;0;0)$, $D(8;0;0)$, $B(0;6;0)$, $A'(0;0;4)$.
Suy ra $C(8;6;0)$, $D'(8;0;4)$, $B'(0;6;4)$, $C'(8;6;4)$.
a) Đúng: S là tâm mặt trần A'B'C'D' nên S là trung điểm A'C' $\left. \Rightarrow S(4;3;4) \right.$.
b) Sai: $P$ là tâm bức tường CDD'C' nên $P$ là trung điểm CD' $\left. \Rightarrow P(8;3;2) \right.$
$SP = \sqrt{{(8 - 4)}^{2} + {(3 - 3)}^{2} + {(2 - 4)}^{2}} = \sqrt{20} \approx 4$mét.
c) Sai: Có $\overset{\rightarrow}{SP} = (4;0; - 2)$.
Trục thẳng đứng hướng xuống có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{v} = (0;0; - 1)$.
Gọi $\alpha$ là góc cần tìm:
$\cos\alpha = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{SP} \cdot \overset{\rightarrow}{v} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{SP} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{v} \right|} = \dfrac{\left| 4.0 + 0.0 + ( - 2)( - 1) \right|}{\sqrt{20} \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
$\left. \Rightarrow\alpha \approx 63,43^{{^\circ}} > 60^{{^\circ}} \right.$. Thiết kế không thỏa mãn.
d) Đúng: Có $\overset{\rightarrow}{SP}(4;0; - 2)$, $\overset{\rightarrow}{SC}(4;3; - 4)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SPC)$ là $\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack\overset{\rightarrow}{SP},\overset{\rightarrow}{SC}\rbrack = (6;8;12)$.
Vectơ $\overset{\rightarrow}{u}(3;4;6)$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{n}(6;8;12)$.
Vậy $\overset{\rightarrow}{u}$ là một vectơ chỉ phương của trục đèn.
Đáp án cần chọn là: Đ; S; S; Đ
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
