Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Hình chiếu của $S$ lên mp$\left( {ABCD} \right)$ là

Câu hỏi số 943536:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Hình chiếu của $S$ lên mp$\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $H$ của$AB$, tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$. Biết $SH = \sqrt{3},$$CH = 3$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $CH$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:943536

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp, chọn H làm gốc tọa độ. Xác định tọa độ các điểm S, D, C, H.

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: $d(SD,CH) = \dfrac{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{SD},\overset{\rightarrow}{HC}\rbrack.\overset{\rightarrow}{SH} \right|}{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{SD},\overset{\rightarrow}{HC}\rbrack \right|}$.

Giải chi tiết

Vì H là trung điểm AB và $SH\bot(ABCD)$ nên $SH\bot AB$

Tam giác SAB vuông cân tại S có SH là đường cao nên $SH = AH = HB = \sqrt{3}$

Suy ra $AB = 2\sqrt{3}$

Trong tam giác HBC vuông tại B (do ABCD là hình chữ nhật), ta có

$BC = \sqrt{CH^{2} - HB^{2}} = \sqrt{3^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{6}$

Chọn hệ trục tọa độ Hxyz với $H(0;0;0)$, trục Hy song song với BC.

Có $B\left( {\sqrt{3};0;0} \right)$, $A\left( {- \sqrt{3};0;0} \right)$,$S\left( {0;0;\sqrt{3}} \right)$, $C\left( {\sqrt{3};\sqrt{6};0} \right)$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{BC} = \left( {0;\sqrt{6};0} \right)$$\left. \Rightarrow D\left( {- \sqrt{3};\sqrt{6};0} \right) \right.$

Ta có $\overset{\rightarrow}{SD}\left( {- \sqrt{3};\sqrt{6}; - \sqrt{3}} \right)$; $\overset{\rightarrow}{HC}\left( {\sqrt{3};\sqrt{6};0} \right)$; $\overset{\rightarrow}{SH}\left( {0;0; - \sqrt{3}} \right)$

Suy ra $\overset{\rightarrow}{n} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{SD},\overset{\rightarrow}{HC}} \right\rbrack = \left( {3\sqrt{2}; - 3; - 6\sqrt{2}} \right)$

$\left| \overset{\rightarrow}{n} \middle| = \sqrt{{(3\sqrt{2})}^{2} + {( - 3)}^{2} + {( - 6\sqrt{2})}^{2}} = 3\sqrt{11} \right.$

Khoảng cách cần tính:

$d(SD,CH) = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{n} \cdot \overset{\rightarrow}{SH} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{n} \right|} = \dfrac{\left| {3\sqrt{2} \cdot 0 + ( - 3) \cdot 0 + \left( {- 6\sqrt{2}} \right).\left( {- \sqrt{3}} \right)} \right|}{3\sqrt{11}} = \dfrac{2\sqrt{66}}{11} \approx 1,48$.

Đáp án cần điền là: 1,48

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.