Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ với $AB = 6\left( \text{dm} \right),AD

Câu hỏi số 948422:

Vận dụng

Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ với $AB = 6\left( \text{dm} \right),AD = 8\left( \text{dm} \right)$ và cạnh bên bằng $10\left( \text{dm} \right)$. Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm $G$ đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm $M$ là trung điểm của $AF$ được mô hình hóa như hình vẽ sau:

Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách $BA$ và $BC$ những đoạn bằng $a$ và $b$. Khi đó tổng $D = 3a + 6b$ bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 20

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948422

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa trong không gian Oxyz.

Gắn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các điểm G, M.

Sử dụng tính chất đối xứng qua mặt phẳng để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai khoảng cách từ hai điểm đến một điểm nằm trên mặt phẳng.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc tọa độ trùng với đỉnh B.

Tia Bx trùng với tia BA, tia By trùng với tia BC, tia Bz trùng với tia BF.

Theo giả thiết, hình hộp chữ nhật có $AB = 6$, $AD = BC = 8$, chiều cao cạnh bên $BF = 10$.

Ta xác định được tọa độ các đỉnh tương ứng: $B(0;0;0)$, $A(6;0;0)$, $C(0;8;0)$, $F(0;0;10)$, $G(0;8;10)$.

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AF, suy ra tọa độ điểm $M(3;0;5)$

Mặt đáy của hồ là mặt phẳng (ABCD) chứa trục Ox và Oy nên có phương trình là $z = 0$.

Giả sử vị trí chú cá chạm mặt đáy là điểm $I(x;y;0)$ với $0 \leq x \leq 6$ và $0 \leq y \leq 8$.

Tổng quãng đường cá bơi là $L = GI + IM$.

Gọi M' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đáy (Oxy).

Tọa độ của M' là $M'(3;0; - 5)$.

Do I thuộc mặt phẳng (Oxy) nên $IM = IM'$.

Khi đó quãng đường bơi là $L = GI + IM' \geq GM'$.

Để quãng đường đi ngắn nhất thì $L = GM'$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 điểm G, I, M' thẳng hàng.

Ta có vectơ $\overset{\rightarrow}{GM^{\prime}} = (3; - 8; - 15)$.

Phương trình tham số của đường thẳng GM' đi qua G và nhận $\overset{\rightarrow}{GM^{\prime}}$ làm vectơ chỉ phương là:

$\left\{ \begin{array}{l} {x = 3t} \\ {y = 8 - 8t} \\ {z = 10 - 15t} \end{array} \right.$

Điểm I là giao điểm của đường thẳng GM' và mặt phẳng đáy (Oxy) có phương trình $z = 0$.

Thay $z = 0$ vào phương trình tham số, ta được: $\left. 10 - 15t = 0\Rightarrow t = \dfrac{2}{3} \right.$.

Thay $t = \dfrac{2}{3}$ vào phương trình x và y ta được $x = 3.\dfrac{2}{3} = 2$ và $y = 8 - 8.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}$

Vậy điểm $I(2;\dfrac{8}{3};0)$.

Các giá trị tọa độ này hoàn toàn thỏa mãn điều kiện điểm I nằm trong hình chữ nhật ABCD.

Theo đề bài, a là khoảng cách từ I đến đường thẳng BA, b là khoảng cách từ I đến đường thẳng BC.

Trong hệ trục tọa độ đã chọn, đường thẳng BA chính là trục Ox, đường thẳng BC chính là trục Oy.

Khoảng cách từ điểm $I(2;\dfrac{8}{3};0)$ đến trục Ox là $a = \left| y_{I} \right| = \dfrac{8}{3}$.

Khoảng cách từ điểm $I(2;\dfrac{8}{3};0)$ đến trục Oy là $b = \left| x_{I} \right| = 2$.

Giá trị của biểu thức cần tìm là: $D = 3a + 6b = 3.\dfrac{8}{3} + 6.2 = 8 + 12 = 20$.

Đáp án cần điền là: 20

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.