Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hàm số $y = f(x) = x^{2} - x - 6$ có đồ thị $(C)$

Câu hỏi số 948588:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hàm số $y = f(x) = x^{2} - x - 6$ có đồ thị $(C)$ . Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và trục hoành $Ox$ quay quanh $Ox$ là $V = \pi{\int\limits_{- 2}^{3}{\left( {x^{2} - x - 6} \right)^{2}dx}}$ .

B. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và trục hoành $Ox$ là $V = {\int\limits_{- 2}^{3}{\left( {x^{2} - x - 6} \right)dx}}$ .

C. Giả sử một vật M chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm $x$ (giây) là $f(x) = x^{2} - x - 6\left( {m/s} \right)$ . Khi đó độ dịch chuyển của vật M trong khoảng thời gian $x \in \left\lbrack {1;4} \right\rbrack$ là $\dfrac{9}{2}$.

D. Tổng quãng đường của vật M ở trên đi được trong khoảng thời gian $x \in \left\lbrack {1;4} \right\rbrack$ là $\dfrac{61}{6}(m)$.

Đáp án đúng là: A; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948588

Phương pháp giải

- Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$ và trục hoành $Ox:f(x) = 0$.

- Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$, $x = b$ quanh trục $Ox:V = \pi{\int\limits_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}}$

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$, $x = b$: $S = {\int\limits_{a}^{b}{\left| {f(x)} \right|dx}}$.

- Độ dịch chuyển của vật từ thời điểm $t_{1}$ đến $t_{2}$: $\Delta s = {\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}v}(t)dt$.

- Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t_{1}$ đến $t_{2}$: $\left. s = \left. \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \right|v(t) \middle| dt \right.$.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và trục hoành Ox:

$\left. x^{2} - x - 6 = 0\Leftrightarrow(x - 3)(x + 2) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 3} \\ {x = - 2} \end{array} \right. \right.$

a) Hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $Ox$ có các cận là $x = - 2$ và $x = 3$. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh $Ox$ là: $V = \pi{\int\limits_{- 2}^{3}{\left( {x^{2} - x - 6} \right)^{2}dx}}$

Vậy ý a) Đúng.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $Ox$ là:

$\left. S = \left. \int\limits_{- 2}^{3} \right|x^{2} - x - 6 \middle| dx \right.$

Vì $x^{2} - x - 6 \leq 0$ với mọi $x \in \lbrack - 2;3\rbrack$ nên:

$S = {\int\limits_{- 2}^{3} -}(x^{2} - x - 6)dx = - {\int_{- 2}^{3}{(x^{2} - x - 6)}}dx$

Biểu thức ở đề bài là $V = {\int\limits_{- 2}^{3}{(x^{2} - x - 6)}}dx$ (vừa sai ký hiệu diện tích, vừa sai dấu giá trị tích phân).

Vậy ý b) Sai.

c) Độ dịch chuyển của vật M trong khoảng thời gian $x \in [1; 4]$ là:

$\Delta s = {\int\limits_{1}^{4}{(x^{2} - x - 6)}}dx = \left\lbrack {\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{2}}{2} - 6x} \right\rbrack_{1}^{4}$

$= \left( {\dfrac{64}{3} - 8 - 24} \right) - \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} - 6} \right) = - \dfrac{32}{3} - \left( {- \dfrac{37}{6}} \right) = - \dfrac{64}{6} + \dfrac{37}{6} = - \dfrac{27}{6} = - \dfrac{9}{2}$

Đề bài ghi là $\dfrac{9}{2}$ (thiếu dấu âm).

Vậy ý c) Sai.

d) Tổng quãng đường vật M đi được trong khoảng thời gian $x \in \lbrack 1;4\rbrack$ là:

$\left. s = \left. \int\limits_{1}^{4} \right|x^{2} - x - 6 \middle| dx = \left. \int\limits_{1}^{3} \right|x^{2} - x - 6 \middle| dx + \left. \int\limits_{3}^{4} \right|x^{2} - x - 6 \middle| dx \right.$

$= {\int\limits_{1}^{3} -}(x^{2} - x - 6)dx + {\int\limits_{3}^{4}{(x^{2} - x - 6)}}dx$

$= - \left\lbrack {\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{2}}{2} - 6x} \right\rbrack_{1}^{3} + \left\lbrack {\dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{2}}{2} - 6x} \right\rbrack_{3}^{4}$

$= - \left( {- \dfrac{27}{2} - \left( {- \dfrac{37}{6}} \right)} \right) + \left( {- \dfrac{32}{3} - \left( {- \dfrac{27}{2}} \right)} \right) = \dfrac{44}{6} + \dfrac{17}{6} = \dfrac{61}{6}(m)$

Vậy ý d) Đúng.

Đáp án cần chọn là: A; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.