Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 3, góc $\widehat{ABC} = 60^{o}$ và cạnh bên SA vuông góc

Câu hỏi số 948967:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 3, góc $\widehat{ABC} = 60^{o}$ và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SD. Biết góc nhị diện $\left\lbrack {M,AC,N} \right\rbrack$ bằng $120^{o}$, tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $(SBD)$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948967

Phương pháp giải

Xác định góc nhị diện, từ đó tìm độ dài đường SA.

Do $OA = OC$ nên $d\left( {C,(SBD)} \right) = d\left( {A,(SBD)} \right)$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$

Giải chi tiết

Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD, $I = EF \cap AC$.

Vì $EF//BD$(EF là đường trung bình trong tam giác ABD), $\left. BD\bot AC\Rightarrow AC\bot EF.~ \right.$.

Vì $\left. SA\bot\left( {ABCD} \right)\Rightarrow SA\bot AC \right.$ mà $SA//ME$ (ME là đường trung bình của $\text{Δ}SAB)$

Do đó $ME\bot AC,$ mà $\left. AC\bot EF\Rightarrow AC\bot\left( {MEF} \right) \right.$

Mà $MN//EF\left( {//BD} \right)$

Suy ra $\left. AC\bot\left( {MNFE} \right)\Rightarrow AC\bot MI,~AC\bot NI \right.$.

Khi đó góc nhị diện $\left\lbrack {M,AC,N} \right\rbrack = \widehat{MIN} = 120^{o}$, suy ra $\widehat{MIE} = 30^{o}$

Vì tứ giác ABCD là hình thoi có cạnh bằng 3 và $\left. \widehat{ABC} = 60^{o}\Rightarrow BD = 3\sqrt{3}\Rightarrow EI = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}. \right.$

Ta có $ME = EI.\tan\widehat{EIM} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}.\tan 30^{o} = \dfrac{3}{4}$ mà $SA = 2ME = 2.\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}$

$\widehat{ABC} = 60^{{^\circ}}$, tam giác ABC là tam giác đều cạnh 3.

Do đó $\left. AC = 3\Rightarrow OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{3}{2} \right.$.

Ta có $d\left( {C,(SBD)} \right) = d\left( {A,(SBD)} \right)$

Xét trong tam giác SAO vuông tại A kẻ $AH\bot SO$ tại H

Khi đó $\left. AH\bot SO,~AH\bot BD\Rightarrow AH\bot\left( {SBD} \right)\Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH. \right.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$\begin{array}{l} {\dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{OA^{2}} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{3}{2} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{3}{2} \right)^{2}} = \dfrac{8}{9}} \\ \left. \Rightarrow AH = \dfrac{3\sqrt{2}}{4} \approx 1,06 \right. \end{array}$

Đáp án cần điền là: 1,06

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.