Trong hình bên là một chiếc đồng hồ treo tường cao cấp được thiết kế

Câu hỏi số 949931:

Vận dụng

Trong hình bên là một chiếc đồng hồ treo tường cao cấp được thiết kế có phần ở giữa (phần tô đậm) dát vàng. Phần này được thiết kế như sau:

- Vẽ hình lục giác đều ABCDEF tâm O và có cạnh bằng 4 cm;

- Vẽ parabol $(C_{1})$ tiếp xúc với các đường thẳng OA, OB lần lượt tại A và B;

- Tương tự vẽ parabol $(C_{2})$ tiếp xúc với các đường thẳng OB, OC lần lượt tại B và C; ...; parabol $(C_{6})$ tiếp xúc với các đường thẳng OF, OA lần lượt tại F và A.

Hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi sáu parabol $(C_{1})$, $(C_{2})$, $(C_{3})$, $(C_{4})$, $(C_{5})$, $(C_{6})$ (phần tô đậm) là phần sẽ được dát vàng. Hỏi phần dát vàng này có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:949931

Phương pháp giải

Do tính đối xứng của hình lục giác đều, diện tích hình $(H)$ gấp 6 lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi một cung parabol và hai bán kính tương ứng (ví dụ cung AB và các đoạn OA, OB).

Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp để tìm phương trình parabol và tính diện tích bằng ứng dụng tích phân.

Giải chi tiết

Xét tam giác đều OAB có cạnh bằng 4. Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc $O(0;0)$, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Khi đó, tọa độ các đỉnh là $B( - 2;2\sqrt{3})$ và $A(2;2\sqrt{3})$.

Đường thẳng OA đi qua O và A có phương trình $y = \sqrt{3}x$.

Gọi parabol $(C_{1})$ có phương trình $y = ax^{2} + c$ (do tính đối xứng qua trục Oy).

Vì $(C_{1})$ đi qua $A(2;2\sqrt{3})$ nên: $\left. a.2^{2} + c = 2\sqrt{3}\Leftrightarrow 4a + c = 2\sqrt{3} \right.$ (1).

Đạo hàm $y' = 2ax$. Tại điểm A, hệ số góc tiếp tuyến của parabol là $y'(2) = 4a$.

Vì parabol tiếp xúc với đường thẳng OA tại A nên $\left. 4a = \sqrt{3}\Rightarrow a = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \right.$.

Thay vào (1) ta được $c = 2\sqrt{3} - 4.\dfrac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

Phương trình parabol $(C_{1})$ là $y = \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^{2} + \sqrt{3}$.

Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi OA, OB và cung AB là:

${S_1} = 2\int_0^2 {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 - \sqrt 3 x} \right)} dx = 2.\left. {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{x^3} + \sqrt 3 x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}} \right)} \right|_0^2 = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}$

Diện tích phần dát vàng tổng cộng là: $S = 6.S_{1} = 6 \cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \approx 13,9$$\text{cm}^{2}$

Đáp án cần điền là: 13,9

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.