Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi

Câu hỏi số 949932:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà (xem hình vẽ bên) có sàn nhà nằm ngang trên mặt phẳng $(\alpha):y - z - 5 = 0$. Hai mái nhà (coi như là hai phần mặt phẳng) lần lượt nằm trên các mặt phẳng $(P):2x - 3y + z - 6 = 0$, $(Q):2x + y - 3z + 10 = 0$. Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) đến sàn nhà là bao nhiêu mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:949932

Phương pháp giải

Chiều cao của ngôi nhà là khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trên đường nóc nhà này đến mặt phẳng sàn nhà $(\alpha)$.

Giải chi tiết

Tọa độ các điểm trên đường nóc nhà thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} {2x - 3y + z - 6 = 0} \\ {2x + y - 3z + 10 = 0} \end{array} \right.$

Cho $z = 0$, ta tìm được một điểm M trên nóc nhà:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {2x - 3y = 6} \\ {2x + y = - 10} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = - 3} \\ {y = - 4} \end{array} \right. \right.$$\left. \Rightarrow M( - 3; - 4;0) \right.$.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến (VTPT) $\vec{n_P} = (2; -3; 1)$.

Mặt phẳng $(Q)$ có VTPT $\vec{n_Q} = (2; 1; -3)$.

Đường thẳng nóc nhà $d$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ nên có vectơ chỉ phương (VTCP) là:

\vec{u_d} = [\vec{n_P}, \vec{n_Q}] = \left( \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \right) = (8; 8; 8)

Chọn VTCP $\vec{u} = (1; 1; 1)$.

Mặt phẳng sàn $(\alpha)$ có VTPT $\vec{n_\alpha} = (0; 1; -1)$.

Ta thấy: $\vec{u} \cdot \vec{n_\alpha} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0 \Rightarrow d \perp \vec{n_\alpha}$.

Hơn nữa, lấy điểm $M(-3; -4; 0)$ thuộc $d$, thay vào phương trình $(\alpha)$ ta được: $-4 - 0 - 5 = -9 \neq 0$, suy ra $M \notin (\alpha)$.

Vậy đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$.

Khi đó, chiều cao của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $(\alpha):y - z - 5 = 0$:

$h = d(M,(\alpha)) = \dfrac{| - 4 - 0 - 5|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + {( - 1)}^{2}}} = \dfrac{9}{\sqrt{2}} \approx 6,36$ (m).

Đáp án cần điền là: 6,36

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.