1. Một chiếc phễu có dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 3 cm và chiều cao 4 cm chứa

Câu hỏi số 951511:

Vận dụng

1. Một chiếc phễu có dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 3 cm và chiều cao 4 cm chứa đầy nước. Tính thể tích nước chứa trong phễu.

2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH.

a) Chứng minh $\Delta BHA \backsim \Delta BAC$.

b) Chứng minh $AH^{2} = HB.HC$.

c) Gọi M là hình chiếu của H trên AC, P là trung điểm của AB, CP cắt HM tại Q và cắt AH tại I. Chứng minh $\dfrac{QH}{PB} = \dfrac{QM}{PA}$ và B, I, M thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:951511

Phương pháp giải

1. Sử dụng công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều: $V = \dfrac{1}{3}.S.h$.

a) Sử dụng trường hợp đồng dạng góc-góc (g.g) của tam giác vuông.

b) Chứng minh hai tam giác vuông $\Delta AHB$ và $\Delta CHA$ đồng dạng, từ đó lập tỉ số đồng dạng để suy ra đẳng thức.

c) Sử dụng hệ quả định lý Thales cho các cặp đường thẳng song song ($HM \parallel AB$) để lập các tỉ số bằng nhau.

Áp dụng hệ quả định lý Thales một lần nữa cho giao điểm I trên AH và giao điểm giả định K của BM trên AH, chứng minh tỉ số bằng nhau để suy ra $I \equiv K$, từ đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Giải chi tiết

1) Thể tích nước chứa đầy trong phễu chính là thể tích của hình chóp tứ giác đều.

Diện tích mặt đáy của hình chóp tứ giác đều (hình vuông) là: $S = 3^{2} = 9$ (cm${}^{2}$)

Thể tích nước chứa trong phễu là: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 9 \cdot 4 = 12$ (cm${}^{3}$)

a) Chứng minh $\Delta BHA \backsim \Delta BAC$

Xét $\Delta BHA$ và $\Delta BAC$ có:

$\angle BHA = \angle BAC = 90^{{^\circ}}$ (do $AH\bot BC$ và $\Delta ABC$ vuông tại $A$)

Góc $\widehat{B}$ là góc chung

Suy ra $\Delta BHA \backsim \Delta BAC$ (g.g).

b) Chứng minh $AH^{2} = HB.HC$

Ta có $\angle BAH + \angle HAC = 90^{0}$ và $\angle HCA + \angle C = 90^{0}$ nên $\angle BAH = \angle C$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CHA$ có:

$\angle AHB = \angle CHA = 90^{{^\circ}}$ (do $AH\bot BC$)

$\angle BAH = \angle C$

Suy ra $\Delta AHB \backsim \Delta CHA$ (g.g).

Từ đó ta có tỉ số đồng dạng: $\dfrac{AH}{CH} = \dfrac{HB}{HA}$

Suy ra $AH \cdot HA = HB \cdot CH$ hay $AH^{2} = HB \cdot HC$ (điều phải chứng minh).

c) Chứng minh $\dfrac{QH}{PB} = \dfrac{QM}{PA}$ và B, I, M thẳng hàng

+) Chứng minh $\dfrac{QH}{PB} = \dfrac{QM}{PA}$:

Ta có M là hình chiếu của H trên AC nên $HM\bot AC$.

Tam giác ABC vuông tại A nên $AB\bot AC$.

Từ đó suy ra $HM \parallel AB$.

Trong $\Delta CPB$, có $HQ \parallel PB$ (do $Q \in HM,P \in AB$).

Áp dụng hệ quả định lý Thales, ta có: $\dfrac{CQ}{CP} = \dfrac{QH}{PB}$ (1)

Trong $\Delta CPA$, có $QM \parallel PA$ (do $Q,M \in HM;P,A \in AB$).

Áp dụng hệ quả định lý Thales, ta có: $\dfrac{CQ}{CP} = \dfrac{QM}{PA}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\dfrac{QH}{PB} = \dfrac{QM}{PA}$.

+) Chứng minh B, I, M thẳng hàng:

Vì $\dfrac{QH}{PB} = \dfrac{QM}{PA}$ và $PA = PB$ nên $QH = QM$

Xét $\Delta IQH$ và $\Delta IPA$ có $\angle IHQ = \angle IAP$ (so le trong)

$\angle QIH = \angle AIP$ (hai góc đối đỉnh)

Nên $\left. \Delta IQH \right.\sim\Delta IPA\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{IQ}{IP} = \dfrac{QH}{PA}$

Mà $QH = QP$ và $PA = PB$ nên $\dfrac{IQ}{IP} = \dfrac{QM}{PB}$

Kết hợp với $\angle IMQ = \angle IBP$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\left. \Delta IMQ \right.\sim\Delta IBP\left( {c.g.c} \right)$ nên $\angle MIQ = \angle BIP$

Mà $\angle MIQ + \angle MIP = 180^{0}$ nên $\angle BIP + \angle MIP = 180^{0}$

Vậy B, I, P thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link