Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc TN THPT và ĐGNL Hà Nội Ngày 11-12/04/2026
 ↪ TN THPT - Trạm 5 (Free) ↪ ĐGNL Hà Nội (HSA) - Trạm 5
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Những phương án nào dưới đây đúng?

Câu hỏi số 952967:
Vận dụng

Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: D; E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:952967
Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất cơ bản của logarit, phương pháp đặt ẩn phụ và bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) để đánh giá.

Giải chi tiết

Xét phương án 1:

Ta có $\left. \log_{2}a = 1\Rightarrow a = 2 \right.$; $\left. \log_{2}b = 8\Rightarrow b = 2^{8} \right.$; $\left. \log_{2}c = 3\Rightarrow c = 2^{3} \right.$.

Thay vào biểu thức, ta được: $\log_{a^{3}c^{2}}\left( \dfrac{2a}{bc} \right) = \log_{2^{3} \cdot {(2^{3})}^{2}}\left( \dfrac{2 \cdot 2}{2^{8} \cdot 2^{3}} \right) = \log_{2^{9}}\left( \dfrac{2^{2}}{2^{11}} \right) = \log_{2^{9}}(2^{- 9}) = \dfrac{- 9}{9} = - 1 \neq 1$.

Vậy phương án 1 sai.

Xét phương án 2:

Ta có

$\begin{array}{l} {\log_{2}a + \log_{4}(4b^{4}) = \log_{\sqrt{2}}c} \\ \left. \Leftrightarrow\log_{2}a + \dfrac{1}{2}\log_{2}(4b^{4}) = 2\log_{2}c \right. \\ \left. \Leftrightarrow\log_{2}a + \log_{2}(\sqrt{4b^{4}}) = \log_{2}(c^{2}) \right. \end{array}$.

Do $b > 0$ nên $\sqrt{4b^{4}} = 2b^{2}$. Phương trình trở thành:

$\left. \log_{2}a + \log_{2}(2b^{2}) = \log_{2}(c^{2})\Leftrightarrow\log_{2}(2ab^{2}) = \log_{2}(c^{2})\Leftrightarrow 2ab^{2} = c^{2} \right.$.

Vậy phương án 2 sai.

Xét phương án 3:

Xét phương trình $\log_{2}^{2}a - \log_{2}a - 6 = 0$.

Đặt $t = \log_{2}a$, ta được phương trình $t^{2} - t - 6 = 0$.

Giải phương trình ta được $t = 3$ hoặc $t = - 2$.

Với $\left. t = 3\Rightarrow\log_{2}a = 3\Rightarrow a = 2^{3} = 8 \right.$ (thỏa mãn là số nguyên dương).

Với $\left. t = - 2\Rightarrow\log_{2}a = - 2\Rightarrow a = 2^{- 2} = \dfrac{1}{4} \right.$ (không là số nguyên dương).

Vậy chỉ tồn tại 1 giá trị nguyên dương của a. Phương án 3 sai.

Xét phương án 4:

Đặt $3^{x} = 4^{y} = 12^{- z} = k$ ($k > 0$).

Trường hợp $k = 1$, ta có $x = y = z = 0$, khi đó $xy + yz + zx = 0$ (thỏa mãn).

Trường hợp $k \neq 1$, ta có $x = \log_{3}k$, $y = \log_{4}k$, $- z = \log_{12}k$.

Suy ra $\dfrac{1}{x} = \log_{k}3$, $\dfrac{1}{y} = \log_{k}4$, $- \dfrac{1}{z} = \log_{k}12$.

Ta có $\log_{k}3 + \log_{k}4 = \log_{k}(3 \cdot 4) = \log_{k}12$, suy ra $\left. \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = - \dfrac{1}{z}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 0 \right.$.

Quy đồng mẫu số ta được $\left. \dfrac{xy + yz + zx}{xyz} = 0\Rightarrow xy + yz + zx = 0 \right.$.

Vậy phương án 4 đúng.

Xét phương án 5:

$P = \log_{\dfrac{a}{b}}a + 2\log_{b^{\dfrac{1}{2}}}\left( \dfrac{a}{b} \right) = \dfrac{\log_{b}a}{\log_{b}\left( \dfrac{a}{b} \right)} + 4\log_{b}\left( \dfrac{a}{b} \right) = \dfrac{\log_{b}a}{\log_{b}a - 1} + 4(\log_{b}a - 1)$.

Đặt $t = \log_{b}a$.

Vì $b > 1$ và $\sqrt{a} < b < a$ nên $b^{2} > a > b$

$\left. \Rightarrow\log_{b}(b^{2}) > \log_{b}a > \log_{b}b\Rightarrow 2 > t > 1 \right.$.

Khi đó $t - 1 > 0$.

Ta có $P = \dfrac{t}{t - 1} + 4(t - 1) = \dfrac{t - 1 + 1}{t - 1} + 4(t - 1) = 1 + \dfrac{1}{t - 1} + 4(t - 1)$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\dfrac{1}{t - 1}$ và $4(t - 1)$, ta có:

$\dfrac{1}{t - 1} + 4(t - 1) \geq 2\sqrt{\dfrac{1}{t - 1} \cdot 4(t - 1)} = 4$.

Suy ra $P \geq 1 + 4 = 5$.

Dấu bằng xảy ra khi $\left. \dfrac{1}{t - 1} = 4(t - 1)\Leftrightarrow{(t - 1)}^{2} = \dfrac{1}{4} \right.$.

Do $t > 1$ nên $\left. t - 1 = \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2} \right.$ (thỏa mãn $1 < t < 2$).

Với $t = \dfrac{3}{2}$, ta có $\left. \log_{b}a = \dfrac{3}{2}\Rightarrow a = b^{\dfrac{3}{2}} \right.$.

Điều này thỏa mãn điều kiện đề bài vì $b > 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng 5.

Phương án 5 đúng.

Đáp án cần chọn là: D; E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn