Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a, $\angle ABC = 60^{{^\circ}}$. Các mặt phẳng (SAB)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a, $\angle ABC = 60^{{^\circ}}$. Các mặt phẳng (SAB) và (SAD) đồng thời vuông góc với đáy. Biết $SA = a\sqrt{3}$. Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: A; C
Quảng cáo
Sử dụng định lý: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.
Tính thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}S.h$.
Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Dựng mặt phẳng phụ chứa điểm và vuông góc với mặt phẳng cần tính khoảng cách.
Phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Chuyển về khoảng cách từ một đường thẳng đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng còn lại, hoặc dựng đoạn vuông góc chung.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Xác định góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.
Vì mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) và có giao tuyến là SA nên $SA\bot(ABCD)$.
Do đó, SA là đường cao của hình chóp và $h = SA = a\sqrt{3}$.
Xét đáy ABCD là hình thoi có $\angle ABC = 60^{{^\circ}}$, suy ra tam giác ABC và tam giác ADC là các tam giác đều cạnh a.
Diện tích đáy $S_{ABCD} = 2.S_{ABC} = 2.\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$.
Xét phương án 1:
Thể tích khối chóp S.ABCD là: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2} \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{a^{3}}{2}$.
Vậy phương án 1 đúng.
Xét phương án 2:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do ABCD là hình thoi nên $AC\bot BD$ tại $O$, với $AO = \dfrac{a}{2}$.
Trong mặt phẳng $(SAO)$, kẻ $AH\bot SO$ tại $H$.
Ta có: $BD\bot AO$ và $BD\bot SA$ $\left. \Rightarrow BD\bot(SAO)\Rightarrow BD\bot AH \right.$.
Vì $AH\bot SO$ và $AH\bot BD$ nên $AH\bot(SBD)$. Do đó, $d(A,(SBD)) = AH$.
Xét tam giác vuông SAO, áp dụng hệ thức lượng ta có:
$\dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AO^{2}} = \dfrac{1}{\left( {a\sqrt{3}} \right)^{2}} + \dfrac{1}{\left( \dfrac{a}{2} \right)^{2}} = \dfrac{1}{3a^{2}} + \dfrac{4}{a^{2}} = \dfrac{13}{3a^{2}}$
$\left. \Rightarrow AH^{2} = \dfrac{3a^{2}}{13}\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt{39}}{13} \right.$.
Vậy phương án 2 sai.
Xét phương án 3:
Vì $AD \parallel BC$ nên $AD \parallel (SBC)$.
Do đó $d(SB,AD) = d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC))$.
Gọi $M$ là trung điểm của BC.
Do tam giác ABC đều nên $AM\bot BC$ và $AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong mặt phẳng (SAM), kẻ $AK\bot SM$ tại $K$.
Ta có $BC\bot AM$ và $\left. BC\bot SA\Rightarrow BC\bot(SAM)\Rightarrow BC\bot AK \right.$.
Vì $AK\bot SM$ và $AK\bot BC$ nên $AK\bot(SBC)$.
Khoảng cách cần tìm là $d(A,(SBC)) = AK$.
Xét tam giác vuông SAM:
$\dfrac{1}{AK^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AM^{2}} = \dfrac{1}{{(a\sqrt{3})}^{2}} + \dfrac{1}{{(\dfrac{a\sqrt{3}}{2})}^{2}} = \dfrac{1}{3a^{2}} + \dfrac{4}{3a^{2}} = \dfrac{5}{3a^{2}}$
$\left. \Rightarrow AK^{2} = \dfrac{3a^{2}}{5}\Rightarrow AK = \dfrac{a\sqrt{15}}{5} \right.$.
Vậy phương án 3 đúng.
Xét phương án 4:
Gọi $N$ là trung điểm của CD.
Vì tam giác ADC đều nên $AN\bot CD$ và $AN = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $CD\bot AN$ và $\left. CD\bot SA\Rightarrow CD\bot(SAN)\Rightarrow CD\bot SN \right.$.
Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$ chính là góc giữa hai đường thẳng SN và AN, tức là góc $\angle SNA$.
Xét tam giác vuông SAN: $\tan(\angle SNA) = \dfrac{SA}{AN} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}} = 2$.
Suy ra $\angle SNA \approx 63,4^{{^\circ}} \neq 60^{{^\circ}}$.
Vậy phương án 4 sai.
Xét phương án 5:
Ta có $BD\bot AC$ và $\left. BD\bot SA\Rightarrow BD\bot(SAC) \right.$.
Trong mặt phẳng $(SAC)$, kẻ $OP\bot SC$ tại $P$.
Vì $BD\bot(SAC)$ nên $BD\bot OP$.
Đoạn OP vuông góc với cả SC và BD nên OP là đoạn vuông góc chung của SC và BD.
Từ đó $d(SC,BD) = OP$.
Xét tam giác POC và tam giác SAC là hai tam giác vuông có chung góc nhọn tại đỉnh C, do đó chúng đồng dạng.
Ta có: $\left. \dfrac{OP}{SA} = \dfrac{OC}{SC}\Rightarrow OP = \dfrac{SA \cdot OC}{SC} \right.$.
Trong tam giác vuông SAC: $SC = \sqrt{SA^{2} + AC^{2}} = \sqrt{3a^{2} + a^{2}} = 2a$.
Có $OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}$.
Suy ra $OP = \dfrac{a\sqrt{3} \cdot \dfrac{a}{2}}{2a} = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy phương án 5 sai.
Đáp án cần chọn là: A; C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
