Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc \geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 960629:

Vận dụng

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc \geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{a^{2} + 1 + bc} + \dfrac{1}{b^{2} + 1 + ac} + \dfrac{1}{ab(c^{3} + 1) + 1}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960629

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để đánh giá các mẫu số theo hướng làm giảm giá trị của các phân số. Chuyển biểu thức P về dạng tổng các phân số có dạng $\dfrac{1}{x + 2}$ và chứng minh một bất đẳng thức phụ với giả thiết $abc \geq 1$.

Giải chi tiết

Xét phân thức thứ ba, ta có: $ab(c^{3} + 1) + 1 = abc^{3} + ab + 1 \geq c^{2} + 1 + ab \geq 2c + ab$ (Áp dụng $abc \geq 1$ và bất đẳng thức AM-GM cho 2 số $c^{2}$ và 1).

Suy ra $\dfrac{1}{ab(c^{3} + 1) + 1} \leq \dfrac{1}{2c + ab} = \dfrac{c}{2c^{2} + abc} \leq \dfrac{c}{2c^{2} + 1}$ (do $abc \geq 1$).

Xét phân thức thứ nhất, ta có: $a^{2} + 1 + bc \geq 2a + bc$ (Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số $a^{2}$ và 1).

Suy ra $\dfrac{1}{a^{2} + 1 + bc} \leq \dfrac{1}{2a + bc} = \dfrac{a}{2a^{2} + abc} \leq \dfrac{a}{2a^{2} + 1}$.

Tương tự: $\dfrac{1}{b^{2} + 1 + ac} \leq \dfrac{b}{2b^{2} + 1}$.

Do đó: $P \leq \dfrac{a}{2a^{2} + 1} + \dfrac{b}{2b^{2} + 1} + \dfrac{c}{2c^{2} + 1}$.

Ta có: $2a^{2} + 1 = a^{2} + a^{2} + 1 \geq a^{2} + 2a$ (Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số $a^{2}$ và 1).

Suy ra $\dfrac{a}{2a^{2} + 1} \leq \dfrac{a}{a^{2} + 2a} = \dfrac{1}{a + 2}$.

Tương tự: $\dfrac{b}{2b^{2} + 1} \leq \dfrac{1}{b + 2}$ và $\dfrac{c}{2c^{2} + 1} \leq \dfrac{1}{c + 2}$.

Do đó: $P \leq \dfrac{1}{a + 2} + \dfrac{1}{b + 2} + \dfrac{1}{c + 2}$.

Ta cần chứng minh: $\dfrac{1}{a + 2} + \dfrac{1}{b + 2} + \dfrac{1}{c + 2} \leq 1$ (**).

Thật vậy, (**) tương đương với $ab + bc + ac + abc \geq 4$ (***).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số a, b, c ta có: $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} \geq 3$ (do $abc \geq 1$) và $abc \geq 1$.

Tương tự $ab + bc + ac \geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}} \geq 3$.

Suy ra $ab + bc + ac + abc \geq 3 + 1 = 4$, do đó (***) đúng.

Suy ra$P \leq 1$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.

Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 1 khi $a = b = c = 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link