Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc \geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 960629:

Vận dụng

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc \geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{a^{2} + 1 + bc} + \dfrac{1}{b^{2} + 1 + ac} + \dfrac{1}{ab(c^{3} + 1) + 1}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:960629

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để đánh giá các mẫu số theo hướng làm giảm giá trị của các phân số. Chuyển biểu thức P về dạng tổng các phân số có dạng $\dfrac{1}{x + 2}$ và chứng minh một bất đẳng thức phụ với giả thiết $abc \geq 1$.

Giải chi tiết

Xét phân thức thứ ba, ta có: $ab(c^{3} + 1) + 1 = abc^{3} + ab + 1 \geq c^{2} + 1 + ab \geq 2c + ab$ (Áp dụng $abc \geq 1$ và bất đẳng thức AM-GM cho 2 số $c^{2}$ và 1).

Suy ra $\dfrac{1}{ab(c^{3} + 1) + 1} \leq \dfrac{1}{2c + ab} = \dfrac{c}{2c^{2} + abc} \leq \dfrac{c}{2c^{2} + 1}$ (do $abc \geq 1$).

Xét phân thức thứ nhất, ta có: $a^{2} + 1 + bc \geq 2a + bc$ (Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số $a^{2}$ và 1).

Suy ra $\dfrac{1}{a^{2} + 1 + bc} \leq \dfrac{1}{2a + bc} = \dfrac{a}{2a^{2} + abc} \leq \dfrac{a}{2a^{2} + 1}$.

Tương tự: $\dfrac{1}{b^{2} + 1 + ac} \leq \dfrac{b}{2b^{2} + 1}$.

Do đó: $P \leq \dfrac{a}{2a^{2} + 1} + \dfrac{b}{2b^{2} + 1} + \dfrac{c}{2c^{2} + 1}$.

Ta có: $2a^{2} + 1 = a^{2} + a^{2} + 1 \geq a^{2} + 2a$ (Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số $a^{2}$ và 1).

Suy ra $\dfrac{a}{2a^{2} + 1} \leq \dfrac{a}{a^{2} + 2a} = \dfrac{1}{a + 2}$.

Tương tự: $\dfrac{b}{2b^{2} + 1} \leq \dfrac{1}{b + 2}$ và $\dfrac{c}{2c^{2} + 1} \leq \dfrac{1}{c + 2}$.

Do đó: $P \leq \dfrac{1}{a + 2} + \dfrac{1}{b + 2} + \dfrac{1}{c + 2}$.

Ta cần chứng minh: $\dfrac{1}{a + 2} + \dfrac{1}{b + 2} + \dfrac{1}{c + 2} \leq 1$ (**).

Thật vậy, (**) tương đương với $ab + bc + ac + abc \geq 4$ (***).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số a, b, c ta có: $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} \geq 3$ (do $abc \geq 1$) và $abc \geq 1$.

Tương tự $ab + bc + ac \geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}} \geq 3$.

Suy ra $ab + bc + ac + abc \geq 3 + 1 = 4$, do đó (***) đúng.

Suy ra$P \leq 1$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.

Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 1 khi $a = b = c = 1$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link