Cho $M = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt[3]{5x + 17} - \sqrt{5x - 1}}{x - 2}$. Biết $M = \dfrac{a}{b}$,

Câu hỏi số 964294:

Vận dụng

Cho $M = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt[3]{5x + 17} - \sqrt{5x - 1}}{x - 2}$. Biết $M = \dfrac{a}{b}$, trong đó $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T = a.b$.

A. -1890.

B. -1802.

C. -1749.

D. -1696.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964294

Phương pháp giải

Đây là dạng giới hạn 0/0 có chứa hai loại căn thức khác bậc (căn bậc hai và căn bậc ba). Phương pháp giải là thêm và bớt hằng số $c = \sqrt[3]{5(2) + 17} = 3$ vào tử số để tách thành hai giới hạn, sau đó sử dụng phương pháp nhân liên hợp.

Giải chi tiết

Ta có $M = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt[3]{5x + 17} - \sqrt{5x - 1}}{x - 2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\left\lbrack {\dfrac{\sqrt[3]{5x + 17} - 3}{x - 2} - \dfrac{\sqrt{5x - 1} - 3}{x - 2}} \right\rbrack$

$M = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt[3]{5x + 17} - 3}{x - 2} - \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - 3}{x - 2}$

Xét $L_{1} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt[3]{5x + 17} - 3}{x - 2}$

Nhân liên hợp cho căn bậc ba:

$L_{1} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{5x + 17 - 3^{3}}{(x - 2)(\sqrt[3]{{(5x + 17)}^{2}} + 3\sqrt[3]{5x + 17} + 9)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{5x - 10}{(x - 2)(\sqrt[3]{{(5x + 17)}^{2}} + 3\sqrt[3]{5x + 17} + 9)}$

$L_{1} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{5(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt[3]{{(5x + 17)}^{2}} + 3\sqrt[3]{5x + 17} + 9)} = \dfrac{5}{\sqrt[3]{{(5.2 + 17)}^{2}} + 3\sqrt[3]{5.2 + 17} + 9}$

$L_{1} = \dfrac{5}{9 + 9 + 9} = \dfrac{5}{27}$

Xét $L_{2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - 3}{x - 2}$

Nhân liên hợp cho căn bậc hai:

$L_{2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{5x - 1 - 3^{2}}{(x - 2)(\sqrt{5x - 1} + 3)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{5x - 10}{(x - 2)(\sqrt{5x - 1} + 3)}$

$L_{2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{5(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{5x - 1} + 3)} = \dfrac{5}{\sqrt{5.2 - 1} + 3} = \dfrac{5}{3 + 3} = \dfrac{5}{6}$

Suy ra $M = L_{1} - L_{2} = \dfrac{5}{27} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{54} - \dfrac{45}{54} = \dfrac{- 35}{54}$

Vì $\dfrac{- 35}{54}$ là phân số tối giản nên $a = - 35,b = 54$.

Vậy $T = a.b = ( - 35) \cdot 54 = - 1890$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.