Cho hàm số $f(x) = \dfrac{- x^{2} + 3x + 1}{x + 2}$ có đồ thị $(C)$. Số giá trị nguyên của $x$ thỏa

Câu hỏi số 964303:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{- x^{2} + 3x + 1}{x + 2}$ có đồ thị $(C)$. Số giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bất phương trình $f'(x) \geq 8$ là

A. 9.

B. 3.

C. 2.

D. 8.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964303

Phương pháp giải

Tìm tập xác định của hàm số.

Tính đạo hàm $f'(x)$ áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$.

Thay vào bất phương trình $f'(x) \geq 8$, giải bất phương trình và đối chiếu điều kiện để tìm số giá trị nguyên của x.

Giải chi tiết

Tập xác định: $D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ - 2 \right\}$.

Ta có:

$f'(x) = \dfrac{( - 2x + 3)(x + 2) - ( - x^{2} + 3x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

$f'(x) = \dfrac{- 2x^{2} - 4x + 3x + 6 + x^{2} - 3x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

$f'(x) = \dfrac{- x^{2} - 4x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Xét bất phương trình $f'(x) \geq 8$ với $x \neq - 2$:

$\dfrac{- x^{2} - 4x + 5}{{(x + 2)}^{2}} \geq 8$

Do ${(x + 2)}^{2} > 0$ với mọi $x \neq - 2$, ta nhân hai vế với ${(x + 2)}^{2}$:

$- x^{2} - 4x + 5 \geq 8(x^{2} + 4x + 4)$

$\left. \Leftrightarrow - x^{2} - 4x + 5 \geq 8x^{2} + 32x + 32 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 9x^{2} + 36x + 27 \leq 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} + 4x + 3 \leq 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq - 1 \right.$

Kết hợp với điều kiện xác định $x \neq - 2$, ta có $x \in \lbrack - 3; - 1\rbrack\backslash\left\{ - 2 \right\}$.

Các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn là $x \in \left\{ - 3; - 1 \right\}$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.