Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong

Câu hỏi số 964305:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là

A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

B. $a$.

C. $a\sqrt{2}$.

D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964305

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại, thì khoảng cách giữa hai đường thẳng đó bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến mặt phẳng kia.

Sử dụng định lý hai mặt phẳng vuông góc để dựng đoạn vuông góc và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Giải chi tiết

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên $BC \parallel AD$.

Mặt khác $AD \subset (SAD)$, suy ra $BC \parallel (SAD)$.

Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (SAD).

Lấy điểm B thuộc BC, ta có: $d(SA,BC) = d(BC,(SAD)) = d(B,(SAD))$.

Gọi H là trung điểm của cạnh AB.

Vì tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$.

Theo giả thiết, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) theo giao tuyến AB, do đó $SH\bot(ABCD)$.

Ta có $AD\bot AB$ (vì ABCD là hình chữ nhật) và $AD\bot SH$ (vì $SH\bot(ABCD)$).

Từ đó suy ra $AD\bot(SAB)$.

Vì $AD \subset (SAD)$ nên hai mặt phẳng (SAD) và (SAB) vuông góc với nhau theo giao tuyến SA.

Trong mặt phẳng (SAB), kẻ đường cao BM của tam giác SAB ($M \in SA$).

Vì $(SAB)\bot(SAD)$, giao tuyến là SA và $BM\bot SA$ nên $BM\bot(SAD)$.

Do đó, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD) chính là độ dài đoạn thẳng BM.

Xét tam giác SAB đều cạnh a, đường cao BM có độ dài là $BM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.