Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm $I(6;2)$ là giao điểm của hai

Câu hỏi số 964307:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm $I(6;2)$ là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm $M(1;5)$ thuộc đường thẳng AB và trung điểm E (có hoành độ khác 6) của cạnh CD thuộc đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $x + y - 5 = 0$. Phương trình đường thẳng AB là

A. $x + 4y - 21 = 0$.

B. $4x + y - 9 = 0$.

C. $x - 4y + 19 = 0$.

D. $4x - y + 1 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964307

Phương pháp giải

Gọi tọa độ điểm E theo tham số t dựa vào phương trình đường thẳng $\Delta$.

Gọi F là trung điểm của đoạn AB. Do ABCD là hình chữ nhật nên tâm I là trung điểm của EF.

Từ đó suy ra tọa độ điểm F theo t.

Sử dụng tính chất của hình chữ nhật: đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối diện thì vuông góc với hai cạnh đó, suy ra $\overset{\rightarrow}{EF}\bot\overset{\rightarrow}{MF}$.

Giải phương trình tích vô hướng $\overset{\rightarrow}{EF} \cdot \overset{\rightarrow}{MF} = 0$ để tìm t, từ đó viết phương trình đường thẳng AB đi qua M và nhận vectơ tỉ lệ với $\overset{\rightarrow}{EF}$ làm vectơ pháp tuyến.

Giải chi tiết

Vì điểm E thuộc đường thẳng $\left. \Delta:x + y - 5 = 0\Leftrightarrow y = 5 - x \right.$ nên gọi tọa độ $E(t;5 - t)$.

Gọi F là trung điểm của cạnh AB.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên I(6;2) là trung điểm của đoạn thẳng EF.

Suy ra tọa độ điểm F là $F(12 - t;t - 1)$

Ta có vectơ $\overset{\rightarrow}{MF} = (11 - t;t - 6)$ và vectơ $\overset{\rightarrow}{EF} = (12 - 2t;2t - 6)$.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $EF\bot AB$.

Mặt khác M và F cùng thuộc đường thẳng AB nên $EF\bot MF$.

Suy ra $\overset{\rightarrow}{EF} \cdot \overset{\rightarrow}{MF} = 0$

$\left. \Leftrightarrow(12 - 2t)(11 - t) + (2t - 6)(t - 6) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2(6 - t)(11 - t) - 2(6 - t)(t - 3) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2(6 - t)\lbrack 11 - t - (t - 3)\rbrack = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2(6 - t)(14 - 2t) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 6 - t = 0 \right.$ hoặc $14 - 2t = 0$

$\left. \Leftrightarrow t = 6 \right.$ hoặc $t = 7$.

Theo giả thiết, điểm E có hoành độ khác 6 nên $t \neq 6$. Do đó ta nhận $t = 7$.

Với $t = 7$, ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là $\overset{\rightarrow}{n} = \dfrac{- 1}{2}\overset{\rightarrow}{EF} = \dfrac{- 1}{2}(12 - 14;14 - 6) = \dfrac{- 1}{2}( - 2;8) = (1; - 4)$.

Đường thẳng AB đi qua $M(1;5)$ và có vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = (1; - 4)$ nên có phương trình là:

$1(x - 1) - 4(y - 5) = 0$

$\left. \Leftrightarrow x - 4y + 19 = 0 \right.$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.