Cho hàm số $y = x^{2} - 4\ln(1 - x)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Câu hỏi số 964310:

Vận dụng

A. Tập xác định của hàm số là $D = (1; + \infty)$.

B. Đạo hàm của hàm số là $y' = \dfrac{- 2x^{2} + 2x + 4}{1 - x}$.

C. Giá trị lớn nhất của hàm số trên $\lbrack - 2;0\rbrack$ bằng $4 - 4\ln 3$.

D. Đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4\ln(1 - x)$ cắt trục Ox tại 2 điểm mà khoảng cách của chúng lớn hơn 2.

Đáp án đúng là: B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964310

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định của hàm số chứa logarit.

Vận dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản.

Lập bảng biến thiên trên đoạn chỉ định để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Dùng tính chất đơn điệu và định lý giá trị trung gian (hoặc khảo sát hàm số) để xác định số giao điểm và khoảng cách các giao điểm với trục hoành.

Giải chi tiết

Xét hàm số $y = x^{2} - 4\ln(1 - x)$.

a (Sai). Điều kiện xác định của hàm số là $\left. 1 - x > 0\Leftrightarrow x < 1 \right.$.

Tập xác định của hàm số là $D = ( - \infty;1)$.

b (Đúng). Áp dụng công thức đạo hàm, ta có:

$y' = {(x^{2})}' - 4{(\ln(1 - x))}' = 2x - 4 \cdot \dfrac{{(1 - x)}'}{1 - x} = 2x - 4 \cdot \dfrac{- 1}{1 - x} = 2x + \dfrac{4}{1 - x}$

$y' = \dfrac{2x(1 - x) + 4}{1 - x} = \dfrac{2x - 2x^{2} + 4}{1 - x} = \dfrac{- 2x^{2} + 2x + 4}{1 - x}$.

c (Sai). Trên đoạn $\lbrack - 2;0\rbrack$, hàm số hoàn toàn xác định và liên tục.

Giải phương trình $\left. y' = 0\Leftrightarrow\dfrac{- 2x^{2} + 2x + 4}{1 - x} = 0\Leftrightarrow - 2x^{2} + 2x + 4 = 0 \right.$.

Phương trình có hai nghiệm là $x = - 1$ và $x = 2$.

Trên đoạn $\lbrack - 2;0\rbrack$, ta chỉ nhận nghiệm $x = - 1$.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm mút và điểm làm đạo hàm bằng 0:

$y( - 2) = {( - 2)}^{2} - 4\ln(1 - ( - 2)) = 4 - 4\ln 3$.

$y( - 1) = {( - 1)}^{2} - 4\ln(1 - ( - 1)) = 1 - 4\ln 2$.

$y(0) = 0^{2} - 4\ln(1 - 0) = 0$.

Vì $e < 3$ nên $\ln e < \ln 3$, tức là $1 < \ln 3$.

Nhân hai vế với 4 ta được $4 < 4\ln 3$, suy ra $4 - 4\ln 3 < 0$.

So sánh ba giá trị, ta thấy $y(0) = 0$ là giá trị lớn nhất.

Do đó, giá trị lớn nhất trên $\lbrack - 2;0\rbrack$ không phải là $4 - 4\ln 3$.

d (Đúng). Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox: $x^{2} - 4\ln(1 - x) = 0$.

Từ đạo hàm $y' = \dfrac{- 2x^{2} + 2x + 4}{1 - x}$, ta thấy trên miền xác định $D = ( - \infty;1)$:

$\left. y' = 0\Leftrightarrow x = - 1 \right.$.

$y' < 0$ khi $x \in ( - \infty; - 1)$, hàm số nghịch biến.

$y' > 0$ khi $x \in ( - 1;1)$, hàm số đồng biến.

$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}y = + \infty$ và $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}y = + \infty$.

Giá trị cực tiểu tại $x = - 1$ là $y( - 1) = 1 - 4\ln 2 < 0$.

Vì cực tiểu âm và giới hạn tại hai đầu miền xác định là dương vô cực, đồ thị cắt trục Ox tại đúng 2 điểm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

Ta dễ dàng nhẩm được $x_{1} = 0 \in ( - 1;1)$ là một nghiệm vì $y(0) = 0$.

Nghiệm còn lại $x_{2}$ phải thuộc khoảng $( - \infty; - 1)$.

Lại có $y( - 2) = 4 - 4\ln 3 < 0$ (đã chứng minh ở ý c).

Vì hàm số đang nghịch biến trên $( - \infty; - 1)$ và đi qua $y( - 2) < 0$ để lên đến $+ \infty$ khi $\left. x\rightarrow - \infty \right.$, nên nghiệm $x_{2}$ phải nằm về phía bên trái của điểm -2, tức là $x_{2} < - 2$.

Khoảng cách giữa hai điểm cắt là: $\left. d = \middle| x_{1} - x_{2} \middle| = \middle| 0 - x_{2} \middle| = \middle| - x_{2} \right|$.

Vì $x_{2} < - 2$ nên $- x_{2} > 2$, do đó khoảng cách $d > 2$.

Đáp án cần chọn là: B; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.