Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng là $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ lần

Câu hỏi số 964311:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng là $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ lần lượt có phương trình: $\Delta_{1}:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 3}{- 1} = \dfrac{z - 2}{2}$; $\Delta_{2}:\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{- 1} = \dfrac{z + 1}{3}$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Đường thẳng $\Delta_{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = (6; - 2; - 6)$.

B. $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ chéo nhau.

C. Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_{1}$ và song song với $\Delta_{2}$ có phương trình là $x - 2y - z + 13 = 0$.

D. Phương trình đường vuông góc chung của $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ là $\dfrac{x - 3}{- 1} = \dfrac{y + 1}{3} = \dfrac{z - 2}{2}$.

Đáp án đúng là: B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964311

Phương pháp giải

Tìm điểm đi qua và vectơ chỉ phương của hai đường thẳng từ phương trình.

Để kiểm tra hai đường thẳng chéo nhau, ta tính tích hỗn tạp $\lbrack\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{M_{1}M_{2}}$. Nếu khác 0 thì hai đường thẳng chéo nhau.

Mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại sẽ có vectơ pháp tuyến là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương và đi qua điểm thuộc đường thẳng nó chứa.

Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau có thể tìm bằng cách gọi tọa độ hai điểm thuộc hai đường thẳng theo tham số, sau đó sử dụng điều kiện vuông góc với hai vectơ chỉ phương để giải hệ phương trình.

Giải chi tiết

Từ phương trình, ta có đường thẳng $\Delta_{1}$ đi qua điểm $M_{1}(1;3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u_{1}} = (1; - 1;2)$.

Đường thẳng $\Delta_{2}$ đi qua điểm $M_{2}(0;0; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u_{2}} = (3; - 1;3)$.

a (Sai). Vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = (6; - 2; - 6)$ không cùng phương với $\overset{\rightarrow}{u_{2}} = (3; - 1;3)$ do $\dfrac{6}{3} = \dfrac{- 2}{- 1} \neq \dfrac{- 6}{3}$.

Do đó, $\overset{\rightarrow}{u}$ không phải là vectơ chỉ phương của $\Delta_{2}$.

b (Đúng). Ta có $\lbrack\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}\rbrack = ( - 1;3;2)$ và $\overset{\rightarrow}{M_{1}M_{2}} = ( - 1; - 3; - 3)$.

Tích hỗn tạp $\lbrack\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{M_{1}M_{2}} = ( - 1)( - 1) + 3( - 3) + 2( - 3) = - 14 \neq 0.$

Vì tích hỗn tạp khác 0 nên $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ chéo nhau.

c (Sai). Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_{1}$ và song song với $\Delta_{2}$ sẽ nhận vectơ $\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}\rbrack = ( - 1;3;2)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua $M_{1}(1;3;2)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $\left. - 1(x - 1) + 3(y - 3) + 2(z - 2) = 0\Leftrightarrow - x + 3y + 2z - 12 = 0\Leftrightarrow x - 3y - 2z + 12 = 0 \right.$

d (Đúng). Gọi $A(1 + t;3 - t;2 + 2t) \in \Delta_{1}$ và $B(3s; - s; - 1 + 3s) \in \Delta_{2}$.

Ta có vectơ $\overset{\rightarrow}{AB} = (3s - t - 1; - s + t - 3;3s - 2t - 3)$.

Đoạn thẳng AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng khi và chỉ khi:

$\left. \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{u_{1}} = 0\Leftrightarrow 1(3s - t - 1) - 1( - s + t - 3) + 2(3s - 2t - 3) = 0\Leftrightarrow 10s - 6t - 4 = 0 \right.$

$\left. \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{u_{2}} = 0\Leftrightarrow 3(3s - t - 1) - 1( - s + t - 3) + 3(3s - 2t - 3) = 0\Leftrightarrow 19s - 10t - 9 = 0 \right.$

Giải hệ phương trình ta được $s = 1$ và $t = 1$.

Thay s = 1 vào tọa độ B, ta được $B(3; - 1;2)$.

Đường vuông góc chung đi qua điểm $B(3; - 1;2)$ và nhận vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = ( - 1;3;2)$ nên có phương trình: $\dfrac{x - 3}{- 1} = \dfrac{y + 1}{3} = \dfrac{z - 2}{2}$.

Đáp án cần chọn là: B; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.