Tại một thành phố, vào tháng Sáu luôn có 30% số ngày mà thời tiết và giao thông đều thật lý

Câu hỏi số 964312:

Vận dụng

Tại một thành phố, vào tháng Sáu luôn có 30% số ngày mà thời tiết và giao thông đều thật lý tưởng. Khả năng để có một ngày thời tiết xấu mà không kẹt xe bằng 25%; khả năng để có một ngày xảy ra kẹt xe mà thời tiết đẹp bằng 30%. Nếu không có vấn đề gì về thời tiết và giao thông thì nhân viên văn phòng có 5% khả năng bị trễ giờ làm vì những lý do chủ quan, còn nếu cả thời tiết xấu và kẹt xe cùng xảy ra thì nhân viên văn phòng có đến 55% khả năng trễ giờ làm. Nếu nhân viên văn phòng chỉ gặp một trong hai vấn đề về thời tiết và giao thông thì khả năng họ đi làm đúng giờ gấp đôi khả năng họ đi làm trễ. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Khả năng trong tháng Sáu có một ngày thời cả thời tiết và giao thông đều không tốt là 0,15.

B. Chọn một ngày trong tháng Sáu, biết ngày hôm đó thời tiết không tốt, xác suất để ngày hôm đó không kẹt xe là 0,375.

C. Xác suất để một người làm văn phòng đi làm trễ vào một ngày tháng Sáu bằng 0,28 (làm tròn đến hàng phần trăm).

D. Xác suất để có một ngày mà thời tiết và giao thông không ủng hộ khi mà người làm văn phòng vẫn đi đúng giờ bằng $\dfrac{97}{337}$.

Đáp án đúng là: A; C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964312

Phương pháp giải

Sử dụng các quy tắc cơ bản của xác suất: quy tắc cộng, quy tắc nhân, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Gọi các biến cố tương ứng với các giả thiết để lập biểu thức tính toán.

Giải chi tiết

Gọi A là biến cố: Ngày có thời tiết đẹp (lý tưởng).

Gọi B là biến cố: Ngày có giao thông tốt (không kẹt xe).

Gọi C là biến cố: Nhân viên văn phòng đi làm trễ.

Suy ra $\overline{C}$ là biến cố đi làm đúng giờ.

Theo giả thiết đề bài, ta có các xác suất sau:

Xác suất ngày thời tiết và giao thông đều lý tưởng: $P(AB) = 30\% = 0,3$.

Xác suất ngày thời tiết xấu mà không kẹt xe: $P(\overline{A}B) = 25\% = 0,25$.

Xác suất ngày xảy ra kẹt xe mà thời tiết đẹp: $P(A\overline{B}) = 30\% = 0,3$.

Xác suất đi trễ khi không có vấn đề gì về thời tiết và giao thông: $\left. P(C \middle| AB) = 5\% = 0,05 \right.$.

Xác suất đi trễ khi cả thời tiết xấu và kẹt xe: $\left. P(C \middle| \overline{A}\overline{B}) = 55\% = 0,55 \right.$.

Khi chỉ gặp một trong hai vấn đề (tức là biến cố $\overline{A}B$ hoặc $A\overline{B}$ xảy ra), khả năng đi đúng giờ gấp đôi đi trễ, nghĩa là $P(\overline{C}) = 2P(C)$.

Vì $P(C) + P(\overline{C}) = 1$ nên ta có $3P(C) = 1$, suy ra $P(C) = \dfrac{1}{3}$.

Do đó: $\left. P(C \middle| A\overline{B}) = \dfrac{1}{3} \right.$ và $\left. P(C \middle| \overline{A}B) = \dfrac{1}{3} \right.$.

Xét từng mệnh đề:

a) Hệ các biến cố $(AB),(\overline{A}B),(A\overline{B}),(\overline{A}\overline{B})$ là một hệ đầy đủ.

Tổng xác suất của chúng bằng 1 nên xác suất ngày thời tiết và giao thông đều không tốt là:

$P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - \lbrack P(AB) + P(\overline{A}B) + P(A\overline{B})\rbrack = 1 - (0,3 + 0,25 + 0,3) = 0,15$.

Vậy mệnh đề a đúng.

b) Biến cố ngày hôm đó thời tiết không tốt là $\overline{A}$.

Xác suất để thời tiết không tốt là: $P(\overline{A}) = P(\overline{A}B) + P(\overline{A}\overline{B}) = 0,25 + 0,15 = 0,4$.

Xác suất để ngày hôm đó không kẹt xe (biến cố B) với điều kiện thời tiết không tốt là:

$\left. P(B \middle| \overline{A}) = \dfrac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})} = \dfrac{0,25}{0,4} = 0,625 \right.$.

Giá trị này khác với 0,375. Vậy mệnh đề b sai.

c) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để nhân viên đi làm trễ là:

$\left. P(C) = P(C \middle| AB) \cdot P(AB) + P(C \middle| A\overline{B}) \cdot P(A\overline{B}) + P(C \middle| \overline{A}B) \cdot P(\overline{A}B) + P(C \middle| \overline{A}\overline{B}) \cdot P(\overline{A}\overline{B}) \right.$

$P(C) = 0,05 \cdot 0,3 + \dfrac{1}{3} \cdot 0,3 + \dfrac{1}{3} \cdot 0,25 + 0,55 \cdot 0,15 = \dfrac{337}{1200} \approx 0,2808$.

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được 0,28. Vậy mệnh đề c đúng.

d) Khi người làm văn phòng vẫn đi đúng giờ, tức là biến cố $\overline{C}$ đã xảy ra.

Ta có xác suất đi làm đúng giờ là: $P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \dfrac{337}{1200} = \dfrac{863}{1200}$.

Xác suất để thời tiết và giao thông không ủng hộ (cả hai cùng xấu, tức biến cố $\overline{A}\overline{B}$) khi đi đúng giờ được tính theo công thức Bayes:

$\left. P(\overline{A}\overline{B} \middle| \overline{C}) = \dfrac{\left. P(\overline{C} \middle| \overline{A}\overline{B}) \cdot P(\overline{A}\overline{B}) \right.}{P(\overline{C})} \right.$

Trong đó $\left. P(\overline{C} \middle| \overline{A}\overline{B}) = 1 - P(C \middle| \overline{A}\overline{B}) = 1 - 0,55 = \dfrac{9}{20} \right.$.

$\left. P(\overline{A} \cap \overline{B} \middle| \overline{C}) = \dfrac{\dfrac{9}{20} \cdot 0,15}{\dfrac{863}{1200}} = \dfrac{81}{863} \right.$.

Vậy mệnh đề d sai.

Đáp án cần chọn là: A; C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.