Cho ba hàm số $y = \log_{a}x,y = \log_{b}x,y = \log_{c}x$ (a, b, c là các số thực dương khác 1) có đồ
Cho ba hàm số $y = \log_{a}x,y = \log_{b}x,y = \log_{c}x$ (a, b, c là các số thực dương khác 1) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng $x = m$ ($m > 1$) cắt các đồ thị hàm số $y = \log_{a}x,y = \log_{b}x,y = \log_{c}x$ và trục hoành lần lượt tại A, B, C, M. Biết rằng $5MA = 4MB = 3MC$. Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: E
Quảng cáo
Sử dụng điều kiện xác định của hàm số lôgarit.
Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng $x = m$ với trục hoành và các đồ thị hàm số, từ đó tính độ dài các đoạn thẳng MA, MB, MC.
Từ giả thiết tỉ lệ độ dài, thiết lập mối liên hệ giữa $\left| \ln a \middle| , \middle| \ln b \middle| , \middle| \ln c \right|$.
Đánh giá giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) để tìm ra dấu chính xác của các lôgarit tự nhiên tương ứng, từ đó suy ra thứ tự của a, b, c và tính toán các biểu thức còn lại.
Xét phương án 1: Hàm số lôgarit có tập xác định là $D = (0; + \infty)$.
Do đó, khẳng định $D = \lbrack 0; + \infty)$ là sai. (1) sai.
Xét phương án 2:
Hàm số $y = \log_{b}x$ nghịch biến nên $0 < b < 1$
Hàm số $y = \log_{c}x$ và $y = \log_{a}x$ đồng biến nên $a > 1$ và $c > 1$
Tại $x = 2$ thì $\left. \log_{c}2 > \log_{a}2\Rightarrow\dfrac{1}{\log_{2}c} > \dfrac{1}{\log_{2}a}\Leftrightarrow\log_{2}c < \log_{2}a\Leftrightarrow c < a \right.$
Vậy $b < c < a$ nên (2) sai.
Xét phương án 3:
Phân tích giả thiết: Đường thẳng $x = m$ ($m > 1$) cắt trục hoành tại $M(m;0)$ và cắt các đồ thị tại $A(m;\log_{a}m),B(m;\log_{b}m),C(m;\log_{c}m)$.
Vì $m > 1$ nên $\ln m > 0$. Độ dài các đoạn thẳng được tính là:
$MA = \left| {\log_{a}m} \right| = \left| \dfrac{\ln m}{\ln a} \right| = \dfrac{\ln m}{\left| {\ln a} \right|}$
$MB = \left| {\log_{b}m} \right| = \dfrac{\ln m}{\left| {\ln b} \right|}$
$MC = \left| {\log_{c}m} \right| = \dfrac{\ln m}{\left| {\ln c} \right|}$
Từ giả thiết $5MA = 4MB = 3MC$, ta có:
$\left. \dfrac{5\ln m}{\left| {\ln a} \right|} = \dfrac{4\ln m}{\left| {\ln b} \right|} = \dfrac{3\ln m}{\left| {\ln c} \right|}\Leftrightarrow\dfrac{5}{\left| {\ln a} \right|} = \dfrac{4}{\left| {\ln b} \right|} = \dfrac{3}{\left| {\ln c} \right|} \right.$
Đặt $\dfrac{\left| {\ln a} \right|}{5} = \dfrac{\left| {\ln b} \right|}{4} = \dfrac{\left| {\ln c} \right|}{3} = x > 0$.
Khi đó: $\left| {\ln a} \right| = 5x,\left| {\ln b} \right| = 4x,\left| {\ln c} \right| = 3x$.
Giả sử $\left. a = 2c\Leftrightarrow e^{5x} = 2e^{3x}\Leftrightarrow e^{2x} = 2\Leftrightarrow e^{x} = \sqrt{2} \right.$.
Khi đó $a = {(\sqrt{2})}^{5} = 4\sqrt{2}$, $c = {(\sqrt{2})}^{3} = 2\sqrt{2}$, $b = {(\sqrt{2})}^{- 4} = \dfrac{1}{4}$.
Tổng $a + b + c = 4\sqrt{2} + \dfrac{1}{4} + 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + \dfrac{1}{4} \neq 56$. (3) sai.
Xét phương án 4: Ta có $T = \dfrac{\log a}{\log(bc)} = \dfrac{\ln a}{\ln b + \ln c}$.
Thay $\ln a = 5x,\ln b = - 4x,\ln c = 3x$ vào biểu thức:
$T = \dfrac{5x}{- 4x + 3x} = \dfrac{5x}{- x} = - 5$.
Do đó $T = - 4$ là sai. (4) sai.
Xét phương án 5: Biểu thức $P = a^{6} + 3b^{10} + c^{10} = e^{6\ln a} + 3e^{10\ln b} + e^{10\ln c}$.
Để P đạt giá trị nhỏ nhất thông qua việc áp dụng bất đẳng thức AM-GM, các số mũ phải triệt tiêu được cho nhau (phải có cả số mũ âm và dương).
Dựa vào hệ số, ta thử trường hợp $\ln a = 5x,\ln c = 3x$ và $\ln b = - 4x$:
$P = e^{30x} + 3e^{- 40x} + e^{30x} = 2e^{30x} + 3e^{- 40x}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 7 số dương (gồm 4 số $\dfrac{1}{2}e^{30x}$ và 3 số $e^{- 40x}$):
$P = 4\left( {\dfrac{1}{2}e^{30x}} \right) + 3e^{- 40x} \geq 7\sqrt[7]{\left( {\dfrac{1}{2}e^{30x}} \right)^{4} \cdot {(e^{- 40x})}^{3}} = 7\sqrt[7]{\dfrac{1}{16}e^{120x - 120x}} = \dfrac{7}{\sqrt[7]{16}}$
Dấu "=" xảy ra $\left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{2}e^{30x} = e^{- 40x}\Leftrightarrow e^{70x} = 2\Leftrightarrow x = \dfrac{\ln 2}{70} > 0 \right.$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\dfrac{7}{\sqrt[7]{16}}$. (5) đúng.
Đáp án cần chọn là: E
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
