Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABCD)

Câu hỏi số 964314:
Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABCD) là trung điểm của AB. Biết $SH = a$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: B; D; E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:964314
Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian (Oxyz) để tính các khoảng cách và thể tích

Giải chi tiết

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho gốc toạ độ trùng với $H(0;0;0)$.

Tia Hx đi qua B, tia Hy song song và cùng chiều với véctơ \overrightarrow{AD}, tia Hz đi qua S.

Vì H là trung điểm AB và ABCD là hình vuông cạnh a nên ta có toạ độ các điểm:

$H(0;0;0)$, $A( - \dfrac{a}{2};0;0)$, $B(\dfrac{a}{2};0;0)$, $D( - \dfrac{a}{2};a;0)$, $C(\dfrac{a}{2};a;0)$.

Vì $SH\bot(ABCD)$ và $SH = a$ nên $S(0;0;a)$.

1 (Sai). Diện tích tam giác BHD là $S_{BHD} = \dfrac{1}{2} \cdot d(D,AB) \cdot HB = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^{2}}{4}$.

Thể tích khối chóp S.BHD là $V = \dfrac{1}{3} \cdot SH \cdot S_{BHD} = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot \dfrac{a^{2}}{4} = \dfrac{a^{3}}{12}$.

2 (Đúng). Ta có $SH\bot(ABCD)$ nên $SH\bot AD$.

Mặt khác $AH\bot AD$ (do ABCD là hình vuông).

Vậy AH là đoạn vuông góc chung của SH và AD.

Khoảng cách $d(SH,AD) = AH = \dfrac{a}{2}$.

3 (Sai). Vì $AB \parallel CD$ nên $AB \parallel (SCD)$.

Do đó $d(AB,SD) = d(AB,(SCD)) = d(H,(SCD))$.

Gọi K là trung điểm của CD, suy ra $HK\bot CD$ và $HK = a$.

Kẻ $HI\bot SK$ tại I, ta chứng minh được $HI\bot(SCD)$ nên $d(H,(SCD)) = HI$.

Xét tam giác vuông SHK, ta có $\left. \dfrac{1}{HI^{2}} = \dfrac{1}{SH^{2}} + \dfrac{1}{HK^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{a^{2}} = \dfrac{2}{a^{2}}\Rightarrow HI = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right.$.

Vậy $d(AB,SD) = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

4 (Đúng). Mặt phẳng (SBD) đi qua $S(0;0;a)$, $B(\dfrac{a}{2};0;0)$, $D( - \dfrac{a}{2};a;0)$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{SB} = (\dfrac{a}{2};0; - a)$ và $\overset{\rightarrow}{SD} = ( - \dfrac{a}{2};a; - a)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBD) là $\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack\overset{\rightarrow}{SB},\overset{\rightarrow}{SD}\rbrack = (a^{2};a^{2};\dfrac{a^{2}}{2}) = \dfrac{a^{2}}{2}(2;2;1)$.

Phương trình mặt phẳng (SBD) là: $\left. 2(x - 0) + 2(y - 0) + 1(z - a) = 0\Leftrightarrow 2x + 2y + z - a = 0 \right.$.

Khoảng cách từ $H(0;0;0)$ đến $(SBD)$ là: $d(H,(SBD)) = \dfrac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0 - a|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{a}{3}$.

5 (Đúng). Ta có $\overset{\rightarrow}{SC} = (\dfrac{a}{2};a; - a)$ và $\overset{\rightarrow}{DH} = (\dfrac{a}{2}; - a;0)$.

Vectơ có hướng $\lbrack\overset{\rightarrow}{SC},\overset{\rightarrow}{DH}\rbrack = ( - a^{2}; - \dfrac{a^{2}}{2}; - a^{2})$.

Vectơ $\overset{\rightarrow}{HS} = (0;0;a)$.

Khoảng cách giữa SC và DH là:

$d(SC,DH) = \dfrac{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{SC},\overset{\rightarrow}{DH}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{HS} \right|}{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{SC},\overset{\rightarrow}{DH}\rbrack \right|} = \dfrac{\left| - a^{3} \right|}{\sqrt{{( - a^{2})}^{2} + {( - \dfrac{a^{2}}{2})}^{2} + {( - a^{2})}^{2}}} = \dfrac{a^{3}}{\sqrt{\dfrac{9a^{4}}{4}}} = \dfrac{a^{3}}{\dfrac{3a^{2}}{2}} = \dfrac{2a}{3}$.

Đáp án cần chọn là: B; D; E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn