Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ là $\overset{\rightarrow}{u}$ và $\overset{\rightarrow}{v}$ thỏa mãn

Câu hỏi số 964323:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ là $\overset{\rightarrow}{u}$ và $\overset{\rightarrow}{v}$ thỏa mãn $\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| = 2\sqrt{5} \right.$ , $\left| \overset{\rightarrow}{v} \middle| = \sqrt{5} \right.$ , $\left| \overset{\rightarrow}{u} - 2\overset{\rightarrow}{v} \middle| = 2\sqrt{5} \right.$ . Tính số đo của góc tạo bởi hai vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ và $(\overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v})$ .

Đáp án:

Đáp án đúng là: 30

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964323

Phương pháp giải

Bình phương vô hướng biểu thức độ dài $\left| \overset{\rightarrow}{u} - 2\overset{\rightarrow}{v} \middle| = 2\sqrt{5} \right.$ để tính tích vô hướng $\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v}$.

Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ $\overset{\rightarrow}{a}$ và $\overset{\rightarrow}{b}$: $\cos(\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b}) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{a} \cdot \overset{\rightarrow}{b}}{\left| \overset{\rightarrow}{a} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{b} \right|}$.

Tính tích vô hướng $\overset{\rightarrow}{u} \cdot (\overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v})$ và độ dài $\left| \overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v} \right|$ để thay vào công thức trên.

Giải chi tiết

Từ giả thiết $\left| {\overset{\rightarrow}{u} - 2\overset{\rightarrow}{v}} \right| = 2\sqrt{5}$, bình phương hai vế ta được:

$\left| {\overset{\rightarrow}{u} - 2\overset{\rightarrow}{v}} \right|^{2} = {(2\sqrt{5})}^{2}$

$\left. \Leftrightarrow\left| \overset{\rightarrow}{u} \right|^{2} - 4\overset{\rightarrow}{u}.\overset{\rightarrow}{v} + 4\left| \overset{\rightarrow}{v} \right|^{2} = 20 \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(2\sqrt{5})}^{2} - 4\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v} + 4{(\sqrt{5})}^{2} = 20 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 20 - 4\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v} + 20 = 20 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v} = 20\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v} = 5 \right.$.

Tính tích vô hướng của $\overset{\rightarrow}{u}$ và $(\overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v})$:

$\overset{\rightarrow}{u} \cdot (\overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v}) = \left| \overset{\rightarrow}{u} \right|^{2} - \overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v} = {(2\sqrt{5})}^{2} - 5 = 20 - 5 = 15$.

Tính độ dài của vectơ $(\overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v})$:

$\left| {\overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v}} \right|^{2} = \left| \overset{\rightarrow}{u} \right|^{2} - 2\overset{\rightarrow}{u}.\overset{\rightarrow}{v} + \left| \overset{\rightarrow}{v} \right|^{2} = 20 - 2.5 + 5 = 15$

$\left. \Rightarrow\left| {\overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v}} \right| = \sqrt{15} \right.$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ và $(\overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v})$. Ta có:

$\cos\alpha = \dfrac{\overset{\rightarrow}{u} \cdot (\overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v})}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \right|.\left| {\overset{\rightarrow}{u} - \overset{\rightarrow}{v}} \right|} = \dfrac{15}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{15}} = \dfrac{15}{2\sqrt{75}} = \dfrac{15}{10\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra $\alpha = 30^{{^\circ}}$.

Đáp án cần điền là: 30

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.