Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left\lbrack {0;4} \right\rbrack$ và $f'(x) > 0,\forall x

Câu hỏi số 964328:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left\lbrack {0;4} \right\rbrack$ và $f'(x) > 0,\forall x \in \lbrack 0;4\rbrack$. Biết $f(0) = 2$ và $4x^{2}f(x) = {\lbrack f'(x)\rbrack}^{2} - x^{2},\forall x \in \lbrack 0;4\rbrack$. Giá trị $f(2\sqrt{3})$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 56

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964328

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết về dạng ${\lbrack f'(x)\rbrack}^{2} = x^{2}\lbrack 4f(x) + 1\rbrack$. Căn bậc hai hai vế (chú ý xét dấu của $f'(x)$ và $x$).

Chuyển vế đưa về dạng $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{4f(x) + 1}} = x$ và lấy nguyên hàm hai vế để tìm phương trình liên hệ chứa $f(x)$.

Thay điều kiện $f(0) = 2$ để tìm hằng số $C$, từ đó tính giá trị tại $x = 2\sqrt{3}$.

Giải chi tiết

Từ giả thiết $4x^{2}f(x) = {\lbrack f'(x)\rbrack}^{2} - x^{2}$, ta có:

${\lbrack f'(x)\rbrack}^{2} = 4x^{2}f(x) + x^{2}$

${\lbrack f'(x)\rbrack}^{2} = x^{2}\lbrack 4f(x) + 1\rbrack$

Vì $f(0) = 2$ và $f'(x) > 0,\forall x \in \lbrack 0;4\rbrack$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên [0;4], do đó $f(x) \geq 2,\forall x \in \lbrack 0;4\rbrack$.

Suy ra $4f(x) + 1 > 0$.

Kết hợp với $x \in \lbrack 0;4\rbrack$ (tức là $x \geq 0$) và $f'(x) > 0$, lấy căn bậc hai hai vế đẳng thức trên ta được:

$f'(x) = x\sqrt{4f(x) + 1}$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{f'(x)}{\sqrt{4f(x) + 1}} = x \right.$

Lấy nguyên hàm hai vế theo biến $x$, ta có:

${\int\dfrac{f'(x)}{\sqrt{4f(x) + 1}}}dx = {\int x}dx$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{4} \cdot 2\sqrt{4f(x) + 1} = \dfrac{x^{2}}{2} + C \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\sqrt{4f(x) + 1} = \dfrac{x^{2}}{2} + C \right.$

Theo đề bài $f(0) = 2$, thay $x = 0$ vào đẳng thức trên ta được:

$\left. \dfrac{1}{2}\sqrt{4(2) + 1} = \dfrac{0^{2}}{2} + C\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\sqrt{9} = C\Leftrightarrow C = \dfrac{3}{2} \right.$

Suy ra $\dfrac{1}{2}\sqrt{4f(x) + 1} = \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{3}{2}$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{4f(x) + 1} = x^{2} + 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4f(x) + 1 = {(x^{2} + 3)}^{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow f(x) = \dfrac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 1}{4} \right.$

Tính giá trị của $f(2\sqrt{3})$ (với $x = 2\sqrt{3}$ thì $x^{2} = 12$):

$f(2\sqrt{3}) = \dfrac{{(12 + 3)}^{2} - 1}{4} = \dfrac{15^{2} - 1}{4} = \dfrac{225 - 1}{4} = \dfrac{224}{4} = 56$

Đáp án cần điền là: 56

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.