Cho hàm số $f(x) = x^{2} - 2(m - 1)x + m - 3$ có đồ thị $(P)$, với m là tham số. Biết (P) cắt trục

Câu hỏi số 965132:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = x^{2} - 2(m - 1)x + m - 3$ có đồ thị $(P)$, với m là tham số. Biết (P) cắt trục hoành tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của AB là

A. $\sqrt{7}$.

B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.

D. $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965132

Phương pháp giải

Sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a}$, $x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}$.

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trên trục hoành: độ dài đoạn thẳng $\left. AB = \middle| x_{A} - x_{B} \middle| = \sqrt{{(x_{A} + x_{B})}^{2} - 4x_{A}x_{B}} \right.$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai thu được.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và trục hoành:

$x^{2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0$ (1).

Ta có $\Delta' = {(m - 1)}^{2} - (m - 3) = m^{2} - 2m + 1 - m + 3 = m^{2} - 3m + 4$.

Ta có $m^{2} - 3m + 4 = {(m - \dfrac{3}{2})}^{2} + \dfrac{7}{4} > 0$ với mọi tham số $m$.

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{A},x_{B}$ với mọi m, tức là (P) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B.

Theo định lí Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{A} + x_{B} = 2(m - 1)} \\ {x_{A}x_{B} = m - 3} \end{array} \right.$

Khoảng cách AB được tính bằng: $AB = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2}} = \sqrt{{(x_{A} + x_{B})}^{2} - 4x_{A}x_{B}}$

Thay các biểu thức từ định lí Vi-ét vào, ta được:

$AB = \sqrt{{\lbrack 2(m - 1)\rbrack}^{2} - 4(m - 3)}$

$AB = \sqrt{4(m^{2} - 2m + 1) - 4m + 12}$

$AB = \sqrt{4m^{2} - 8m + 4 - 4m + 12}$

$AB = \sqrt{4m^{2} - 12m + 16}$

$AB = \sqrt{{(2m - 3)}^{2} + 7}$

Vì ${(2m - 3)}^{2} \geq 0$ với mọi $m$, nên ${(2m - 3)}^{2} + 7 \geq 7$ với mọi $m$.

Suy ra $AB \geq \sqrt{7}$.

Dấu bằng xảy ra khi $\left. 2m - 3 = 0\Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2} \right.$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của AB là $\sqrt{7}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.