Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^{2} + mx - 2m - 4}{x + 2}$ có đồ thị $(C)$. Những phương án nào dưới

Câu hỏi số 965138:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^{2} + mx - 2m - 4}{x + 2}$ có đồ thị $(C)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Khi $m = - 1$, hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 4)$.

B. Gọi $I(a;b)$ là tâm đối xứng của $(C)$. Biết $a + b = 5$, khi đó giá trị của $m$ thỏa mãn $m \in (10;12)$.

C. $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 2$, với mọi giá trị của $m$ thuộc $\mathbb{R}$.

D. Biết $(C)$ có hai điểm cực trị là $A$ và $B$, khi đó có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$ để $AB \leq 20$.

Đáp án đúng là: A; B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965138

Phương pháp giải

Tập xác định của hàm số: $D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ - 2 \right\}$.

Thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu để viết lại hàm số dưới dạng $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x + 2}$.

Tính đạo hàm $f'(x)$, lập bảng biến thiên để xét tính đơn điệu và tìm cực trị.

Xác định các đường tiệm cận. Giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ có phương trình $y = \dfrac{u'(x)}{v'(x)}$. Sử dụng công thức khoảng cách để tính độ dài đoạn AB.

Giải chi tiết

Ta có: $f(x) = \dfrac{x^{2} + 2x + (m - 2)x + 2(m - 2) - 4m}{x + 2} = x + m - 2 - \dfrac{4m}{x + 2}$.

Đạo hàm: $f'(x) = 1 + \dfrac{4m}{{(x + 2)}^{2}} = \dfrac{{(x + 2)}^{2} + 4m}{{(x + 2)}^{2}}$.

1 (Đúng). Khi $m = - 1$, ta có $f'(x) = 1 - \dfrac{4}{{(x + 2)}^{2}} = \dfrac{x^{2} + 4x}{{(x + 2)}^{2}}$.

Cho $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow x^{2} + 4x = 0\Leftrightarrow x = 0 \right.$ hoặc $x = - 4$.

Với $x \in ( - \infty; - 4)$, ta có $f'(x) > 0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 4)$.

2 (Đúng). Để $(C)$ có tâm đối xứng thì hàm số phải có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên, suy ra

$\left. - 4m \neq 0\Leftrightarrow m \neq 0 \right.$.

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 2$ và tiệm cận xiên $y = x + m - 2$.

Tâm đối xứng I là giao điểm của hai tiệm cận nên tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình:

$x = - 2$ và $y = - 2 + m - 2 = m - 4$. Suy ra $I( - 2;m - 4)$.

Do đó $a = - 2$, $b = m - 4$.

Theo giả thiết $\left. a + b = 5\Leftrightarrow - 2 + m - 4 = 5\Leftrightarrow m = 11 \right.$.

Giá trị $m = 11$ thỏa mãn $m \in (10;12)$.

3 (Sai). Nếu $m = 0$, hàm số trở thành $f(x) = x - 2$ (với $x \neq - 2$).

Khi đó $\lim\limits_{x\rightarrow - 2}f(x) = - 4$, giới hạn này là hữu hạn nên đường thẳng $x = - 2$ không phải là tiệm cận đứng.

Vậy khẳng định đồ thị có tiệm cận đứng $x = - 2$ với mọi $m$ thuộc $\mathbb{R}$ là sai.

4 (Đúng). Đồ thị $(C)$ có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác -2.

$\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow{(x + 2)}^{2} = - 4m \right.$.

Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt là $\left. - 4m > 0\Leftrightarrow m < 0 \right.$.

Gọi $x_{1},x_{2}$ là hoành độ hai điểm cực trị, ta có $x_{1} = - 2 - 2\sqrt{- m}$ và $x_{2} = - 2 + 2\sqrt{- m}$.

Tung độ của các điểm cực trị nằm trên đường thẳng $y = \dfrac{{(x^{2} + mx - 2m - 4)}'}{{(x + 2)}'} = 2x + m$.

Nên tọa độ hai điểm cực trị là $A(x_{1};2x_{1} + m)$ và $B(x_{2};2x_{2} + m)$.

Ta có độ dài đoạn thẳng AB:

$AB^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(2x_{2} - 2x_{1})}^{2} = 5{(x_{2} - x_{1})}^{2}$

Mặt khác $x_{2} - x_{1} = ( - 2 + 2\sqrt{- m}) - ( - 2 - 2\sqrt{- m}) = 4\sqrt{- m}$.

Suy ra ${(x_{2} - x_{1})}^{2} = 16( - m) = - 16m$.

Do đó $AB^{2} = 5( - 16m) = - 80m$.

Theo đề bài $\left. AB \leq 20\Leftrightarrow AB^{2} \leq 400\Leftrightarrow - 80m \leq 400\Leftrightarrow m \geq - 5 \right.$.

Kết hợp với điều kiện $m < 0$, ta được $- 5 \leq m < 0$.

Vì $m$ là số nguyên nên $m \in \left\{ - 5; - 4; - 3; - 2; - 1 \right\}$.

Có $5$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A; B; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.