Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A(1; 2; -2), B(-1; 0; 2)$ và $I(1; 0; -1)$. Những

Câu hỏi số 965139:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A(1; 2; -2), B(-1; 0; 2)$ và $I(1; 0; -1)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = (1;1; - 2)$.

B. Gọi (P) là mặt phẳng qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) lớn nhất. Phương trình mặt phẳng (P) là $x + y - 2z - 7 = 0$.

C. Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 1), đồng thời cắt cả hai đường thẳng là AB và trục hoành có phương trình là $\dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{1}$.

D. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng AB là ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = \dfrac{3}{7}$.

Đáp án đúng là: A; B; C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965139

Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức về hình học tọa độ trong không gian Oxyz theo chương trình GDPT 2018:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm là một vectơ cùng phương với vectơ nối hai điểm đó.

Bài toán cực trị khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm B đến một mặt phẳng (P) đi qua A luôn nhỏ hơn hoặc bằng độ dài đoạn thẳng AB. Khoảng cách này lớn nhất khi mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB tại A.

Viết phương trình đường thẳng dựa vào điều kiện cắt các đường thẳng khác: Chuyển đường thẳng về dạng tham số, gọi tọa độ giao điểm và dùng điều kiện thẳng hàng của các điểm.

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng đó, tính bằng công thức $d(I,AB) = \dfrac{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{AI},{\overset{\rightarrow}{u}}_{AB}\rbrack \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{u}}_{AB} \right|}$.

Giải chi tiết

1 (Đúng). Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 1 - 1;0 - 2;2 - ( - 2)) = ( - 2; - 2;4)$.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB có thể chọn là $\overset{\rightarrow}{u} = - \dfrac{1}{2}\overset{\rightarrow}{AB} = (1;1; - 2)$.

2 (Đúng). Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (P).

Trong tam giác vuông ABH, ta luôn có $BH \leq AB$.

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) chính là đoạn BH. Do đó, khoảng cách này đạt giá trị lớn nhất bằng AB khi $H \equiv A$, tức là mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB.

Khi đó, (P) đi qua $A(1;2; - 2)$ và nhận $\overset{\rightarrow}{u} = (1;1; - 2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P) là: $\left. 1(x - 1) + 1(y - 2) - 2(z + 2) = 0\Leftrightarrow x + y - 2z - 7 = 0 \right.$.

3 (Đúng). Trục hoành Ox có phương trình giao tuyến là $y = 0,z = 0$.

Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm $N(n;0;0)$ và cắt đường thẳng AB tại điểm K.

Đường thẳng AB đi qua $A(1;2; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (1;1; - 2)$ nên có phương trình tham số: $x = 1 + t,y = 2 + t,z = - 2 - 2t$.

Điểm $\left. K \in AB\Rightarrow K(1 + t;2 + t; - 2 - 2t) \right.$.

Ta có các vectơ: $\overset{\rightarrow}{MN} = (n - 2; - 3; - 1)$ và $\overset{\rightarrow}{MK} = (t - 1;t - 1; - 2t - 3)$.

Vì d là đường thẳng đi qua cả ba điểm M, N, K nên ba điểm này thẳng hàng, suy ra $\overset{\rightarrow}{MN}$ và $\overset{\rightarrow}{MK}$ cùng phương:

$\dfrac{t - 1}{n - 2} = \dfrac{t - 1}{- 3} = \dfrac{- 2t - 3}{- 1}$ (với điều kiện mẫu số khác 0).

Từ phương trình $\dfrac{t - 1}{- 3} = \dfrac{- 2t - 3}{- 1}$, ta có: $\left. t - 1 = - 3(2t + 3)\Leftrightarrow t - 1 = - 6t - 9\Leftrightarrow 7t = - 8\Leftrightarrow t = - \dfrac{8}{7} \right.$.

Thay $t = - \dfrac{8}{7}$ vào $\dfrac{t - 1}{n - 2} = \dfrac{t - 1}{- 3}$, ta suy ra $\left. n - 2 = - 3\Leftrightarrow n = - 1 \right.$.

Vậy $N( - 1;0;0)$, khi đó $\overset{\rightarrow}{MN} = ( - 3; - 3; - 1)$.

Chọn vectơ chỉ phương của d là ${\overset{\rightarrow}{u}}_{d} = (3;3;1)$.

Đường thẳng d đi qua $N( - 1;0;0)$ với ${\overset{\rightarrow}{u}}_{d} = (3;3;1)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{1}$.

(Kiểm tra lại điểm M(2; 3; 1) thay vào phương trình thấy thỏa mãn $\dfrac{2 + 1}{3} = \dfrac{3}{3} = \dfrac{1}{1} = 1$).

Vậy ý 3 đúng.

4 (Sai). Mặt cầu (S) tâm $I(1;0; - 1)$ tiếp xúc với đường thẳng AB nên có bán kính $R = d(I,AB)$.

Đường thẳng AB đi qua A(1; 2; -2) và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = (1;1; - 2)$.

Vectơ $\overset{\rightarrow}{AI} = (0; - 2;1)$.

Tính tích có hướng: $\lbrack\overset{\rightarrow}{AI},\overset{\rightarrow}{u}\rbrack = \left( {\left| \begin{matrix} {- 2} & 1 \\ 1 & {- 2} \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ {- 2} & 1 \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 0 & {- 2} \\ 1 & 1 \end{matrix} \right|} \right) = (3;1;2)$.

Độ dài $\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{AI},\overset{\rightarrow}{u}\rbrack \middle| = \sqrt{3^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{14} \right.$.

Độ dài $\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {( - 2)}^{2}} = \sqrt{6} \right.$.

Bán kính mặt cầu là $R = \dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{7}{3}}$.

Bình phương bán kính là $R^{2} = \dfrac{7}{3}$.

Phương trình mặt cầu (S) phải là: ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = \dfrac{7}{3}$.

Đề bài cho vế phải là $\dfrac{3}{7}$ nên không chính xác.

Vậy ý 4 sai.

Đáp án cần chọn là: A; B; C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.