Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho các hàm số $y = x^{a},y = x^{b},y = x^{c}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Những phương án nào

Câu hỏi số 965141:
Vận dụng

Cho các hàm số $y = x^{a},y = x^{b},y = x^{c}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: B; C; E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:965141
Phương pháp giải

Dựa vào hình dáng và các đặc điểm của đồ thị hàm số lũy thừa $y = x^{\alpha}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ để xác định tính chất của các số mũ a, b, c:

Khi $\alpha < 0$: Hàm số nghịch biến, đồ thị có tiệm cận đứng $x = 0$ và tiệm cận ngang $y = 0$.

Khi $0 < \alpha < 1$: Hàm số đồng biến, đồ thị có bề lõm hướng xuống dưới.

Khi $\alpha > 1$: Hàm số đồng biến, đồ thị có bề lõm hướng lên trên.

Sử dụng các điểm đặc biệt có trên đồ thị (giao điểm với các đường nét đứt) để thiết lập hệ thức liên hệ giữa các ẩn số.

Vận dụng các tính chất của logarit và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai để kết luận.

Giải chi tiết

Quan sát đồ thị hàm số trên khoảng $(0; + \infty)$, ta có:

Đồ thị hàm số $y = x^{a}$ đi xuống (nghịch biến) nên $a < 0$. Đồ thị này có 2 đường tiệm cận là $x = 0$ và $y = 0$.

Đồ thị hàm số $y = x^{b}$ đi lên (đồng biến) và có bề lõm quay xuống dưới nên $0 < b < 1$. Đồ thị này không có tiệm cận.

Đồ thị hàm số $y = x^{c}$ đi lên (đồng biến) và có bề lõm quay lên trên nên $c > 1$. Đồ thị này không có tiệm cận.

1 (Sai). Tổng số đường tiệm cận của cả ba đồ thị hàm số là 2.

2 (Đúng). Từ lập luận trên, ta có $a < 0 < b < 1 < c$, do đó $c > b > a$.

Dựa vào đồ thị, tại $x = \alpha$ (với $\alpha > 1$), ta có các tung độ tương ứng: $\left\{ \begin{array}{l} {\alpha^{a} = 0,5 = \dfrac{1}{2}(1)} \\ {\alpha^{b} = m(2)} \\ {\alpha^{c} = 2m(3)} \end{array} \right.$

3 (Đúng). Thay $\alpha = 2$ vào (1), ta được $\left. 2^{a} = \dfrac{1}{2} = 2^{- 1}\Rightarrow a = - 1 \right.$.

4 (Sai). Từ (2) và (3), ta lập tỉ số: $\left. \dfrac{\alpha^{c}}{\alpha^{b}} = \dfrac{2m}{m}\Leftrightarrow\alpha^{c - b} = 2\Leftrightarrow\alpha^{b - c} = \dfrac{1}{2} \right.$.

Kết hợp với (1), ta có $\alpha^{a} = \alpha^{b - c}$.

Do $\alpha > 1$ nên $\left. a = b - c\Leftrightarrow a + c = b \right.$.

Thay vào biểu thức T, ta được $T = \dfrac{a + c}{2b} = \dfrac{b}{2b} = \dfrac{1}{2} \neq 1$.

5 (Đúng). Từ hệ thức $a = b - c$, ta có $c - b = - a$.

Lấy logarit cơ số $\alpha$ hai vế của (2) và (3), ta được: $b = \log_{\alpha}m$ và $c = \log_{\alpha}(2m)$.

Biểu thức $P = \dfrac{3a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \dfrac{3{(c - b)}^{2} + b^{2}}{c^{2}} = 3\left( {1 - \dfrac{b}{c}} \right)^{2} + \left( \dfrac{b}{c} \right)^{2}$.

Đặt $t = \dfrac{b}{c} = \dfrac{\log_{\alpha}m}{\log_{\alpha}(2m)}$. Khi đó, $P = 3{(1 - t)}^{2} + t^{2} = 4t^{2} - 6t + 3$.

Hàm số bậc hai $f(t) = 4t^{2} - 6t + 3$ là một parabol có bề lõm hướng lên, đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $t = \dfrac{- ( - 6)}{2.4} = \dfrac{3}{4}$.

Dấu "=" xảy ra khi $\left. \dfrac{b}{c} = \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow 4b = 3c\Leftrightarrow 4\log_{\alpha}m = 3\log_{\alpha}(2m) \right.$

$\left. \Leftrightarrow\log_{\alpha}(m^{4}) = \log_{\alpha}({(2m)}^{3})\Leftrightarrow m^{4} = 8m^{3} \right.$.

Vì đồ thị nằm trên trục hoành và $\alpha > 1$ nên $m > 1$.

Chia cả hai vế cho $m^{3}$, ta được $m = 8$.

Đáp án cần chọn là: B; C; E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn