Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có $AA' = 2a$ . Biết số đo góc phẳng

Câu hỏi số 965142:
Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có $AA' = 2a$ . Biết số đo góc phẳng nhị diện [C', AB, C] bằng $45^{{^\circ}}$. Gọi H là trung điểm BC. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: C; D; E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:965142
Phương pháp giải

Xác định góc phẳng nhị diện từ đó tính các kích thước cơ bản của lăng trụ.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian (Oxyz) để tính toán khoảng cách. Phương pháp này rất tối ưu cho các bài toán trắc nghiệm đúng sai yêu cầu kiểm tra nhiều khoảng cách chéo nhau theo định hướng chương trình GDPT 2018.

Giải chi tiết

1 (Sai). Gọi M là trung điểm của AB. Do tam giác ABC đều nên $CM\bot AB$.

Hình lăng trụ tam giác đều nên $\left. CC'\bot(ABC)\Rightarrow CC'\bot AB \right.$.

Từ đó suy ra $\left. AB\bot(C'CM)\Rightarrow AB\bot C'M \right.$.

Do đó, góc phẳng nhị diện [C', AB, C] chính là $\widehat{C^{\prime}MC} = 45^{{^\circ}}$.

Xét tam giác C'CM vuông tại C, ta có:

$\left. \tan\widehat{C^{\prime}MC} = \dfrac{CC'}{CM}\Rightarrow\tan 45^{{^\circ}} = \dfrac{2a}{CM}\Rightarrow CM = 2a \right.$.

Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là x ($x > 0$).

Đường cao của tam giác đều ABC là $\left. CM = \dfrac{x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\dfrac{x\sqrt{3}}{2} = 2a\Rightarrow x = \dfrac{4a\sqrt{3}}{3} \right.$.

Suy ra $AB = \dfrac{4a\sqrt{3}}{3}$.

2 (Sai). Diện tích đáy tam giác ABC là $S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4a\sqrt{3}}{3} \cdot 2a = \dfrac{4a^{2}\sqrt{3}}{3}$.

Thể tích khối lăng trụ là $V = S \cdot AA' = \dfrac{4a^{2}\sqrt{3}}{3} \cdot 2a = \dfrac{8a^{3}\sqrt{3}}{3}$.

3 (Đúng). Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc tọa độ $O \equiv H(0;0;0)$.

Tia Hx chứa HB, tia Hy chứa HA, tia Hz song song với AA' (hướng từ dưới lên).

Ta có đường cao của tam giác đều ABC là $AH = CM = 2a$. Đáy $\left. BC = x = \dfrac{4a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow HB = HC = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \right.$.

Tọa độ các điểm: $H(0;0;0)$, $B(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3};0;0)$, $C( - \dfrac{2a\sqrt{3}}{3};0;0)$, $A(0;2a;0)$, $A'(0;2a;2a)$, $B'(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3};0;2a)$, $C'( - \dfrac{2a\sqrt{3}}{3};0;2a)$.

Đường thẳng BC qua $H(0;0;0)$ có vectơ chỉ phương ${\overset{\rightarrow}{u}}_{1} = (1;0;0)$.

Đường thẳng C'A qua $A(0;2a;0)$ có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{C^{\prime}A} = (\dfrac{2a\sqrt{3}}{3};2a; - 2a)$, chọn ${\overset{\rightarrow}{u}}_{2} = (\sqrt{3};3; - 3)$.

$\overset{\rightarrow}{HA} = (0;2a;0)$.

Ta có tích có hướng $\lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{1},{\overset{\rightarrow}{u}}_{2}\rbrack = (0;3;3)$.

$d(BC,C'A) = \dfrac{\left| \lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{1},{\overset{\rightarrow}{u}}_{2}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{HA} \right|}{\left| \lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{1},{\overset{\rightarrow}{u}}_{2}\rbrack \right|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + 3 \cdot 2a + 3 \cdot 0|}{\sqrt{0^{2} + 3^{2} + 3^{2}}} = \dfrac{6a}{3\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$.

4 (Đúng). Tính $d(AC,B'H)$

Đường thẳng AC qua $A(0;2a;0)$ có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{CA} = (\dfrac{2a\sqrt{3}}{3};2a;0)$, chọn ${\overset{\rightarrow}{u}}_{3} = (\sqrt{3};3;0)$.

Đường thẳng B'H qua $H(0;0;0)$ có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{HB^{\prime}} = (\dfrac{2a\sqrt{3}}{3};0;2a)$, chọn ${\overset{\rightarrow}{u}}_{4} = (\sqrt{3};0;3)$.

Ta có $\lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{3},{\overset{\rightarrow}{u}}_{4}\rbrack = (9; - 3\sqrt{3}; - 3\sqrt{3})$.

$d(AC,B'H) = \dfrac{\left| \lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{3},{\overset{\rightarrow}{u}}_{4}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{HA} \right|}{\left| \lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{3},{\overset{\rightarrow}{u}}_{4}\rbrack \right|} = \dfrac{\left| 9 \cdot 0 + ( - 3\sqrt{3}) \cdot 2a + ( - 3\sqrt{3}) \cdot 0 \right|}{\sqrt{9^{2} + {( - 3\sqrt{3})}^{2} + {( - 3\sqrt{3})}^{2}}} = \dfrac{6a\sqrt{3}}{3\sqrt{15}} = \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.

5 (Đúng). Tính $d(A'C,AH)$

Đường thẳng A'C qua $C( - \dfrac{2a\sqrt{3}}{3};0;0)$ có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}C} = ( - \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}; - 2a; - 2a)$, chọn ${\overset{\rightarrow}{u}}_{5} = (\sqrt{3};3;3)$.

Đường thẳng AH qua $H(0;0;0)$ có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{HA} = (0;2a;0)$, chọn ${\overset{\rightarrow}{u}}_{6} = (0;1;0)$.

$\overset{\rightarrow}{HC} = ( - \dfrac{2a\sqrt{3}}{3};0;0)$.

Ta có $\lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{5},{\overset{\rightarrow}{u}}_{6}\rbrack = ( - 3;0;\sqrt{3})$.

$d(A'C,AH) = \dfrac{\left| \lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{5},{\overset{\rightarrow}{u}}_{6}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{HC} \right|}{\left| \lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{5},{\overset{\rightarrow}{u}}_{6}\rbrack \right|} = \dfrac{\left| - 3 \cdot ( - \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}) + 0 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 0 \right|}{\sqrt{{( - 3)}^{2} + 0^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = a$.

Đáp án cần chọn là: C; D; E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn