Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng là $d_{1}:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y + 2}{- 1} = \dfrac{z - 3}{2}$,

Câu hỏi số 965151:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng là $d_{1}:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y + 2}{- 1} = \dfrac{z - 3}{2}$, $d_{2}:\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y - 4}{- 1} = \dfrac{z - 2}{4}$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng cách đều $d_{1}$ và $d_{2}$. Biết phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax + by + cz + 5 = 0$. Tính $a + b - c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965151

Phương pháp giải

Xác định điểm đi qua và vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$.

Mặt phẳng $(P)$ cách đều hai đường thẳng chéo nhau $d_{1},d_{2}$ nên $(P)$ song song với cả hai đường thẳng đó. Do đó, $(P)$ nhận có vectơ pháp tuyến là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}\rbrack$.

Lấy điểm $M_{1} \in d_{1}$ và $M_{2} \in d_{2}$. Vì $(P)$ song song và cách đều hai đường thẳng nên $(P)$ sẽ đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $M_{1}M_{2}$.

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua I và có vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n}$. Đưa về đúng dạng đề bài yêu cầu và đồng nhất hệ số để tìm a, b, c.

Giải chi tiết

Đường thẳng $d_{1}$ đi qua điểm $M_{1}(1; - 2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u_{1}} = (1; - 1;2)$.

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua điểm $M_{2}( - 1;4;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u_{2}} = (2; - 1;4)$.

Ta có $\lbrack\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}\rbrack = (( - 1).4 - 2.( - 1);2.2 - 1.4;1.( - 1) - ( - 1).2) = ( - 2;0;1)$.

Mặt phẳng $(P)$ song song với $d_{1}$ và $d_{2}$ nên nhận $\overset{\rightarrow}{n} = ( - 2;0;1)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $M_{1}M_{2}$, toạ độ của điểm $I$ là $I(0;1;\dfrac{5}{2})$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $I(0;1;\dfrac{5}{2})$ và có vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = ( - 2;0;1)$ có phương trình là:

$- 2(x - 0) + 0(y - 1) + 1(z - \dfrac{5}{2}) = 0$

$\left. \Leftrightarrow - 2x + z - \dfrac{5}{2} = 0 \right.$

Nhân cả hai vế với $- 2$ để hệ số tự do bằng $5$:

$\left. \Leftrightarrow 4x - 2z + 5 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4x + 0y - 2z + 5 = 0 \right.$

Theo giả thiết, phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax + by + cz + 5 = 0$.

Đồng nhất hệ số ta được: $a = 4,b = 0,c = - 2$.

Khi đó: $a + b - c = 4 + 0 - ( - 2) = 6$.

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.