Cho hàm số $y = \dfrac{2x^{2} + mx - 2}{x + 1}$, với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị

Câu hỏi số 965153:

Vận dụng

Cho hàm số $y = \dfrac{2x^{2} + mx - 2}{x + 1}$, với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. Tính tổng giá trị các phần tử của S.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965153

Phương pháp giải

Thực hiện phép chia đa thức để tìm phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Xác định tọa độ giao điểm của đường tiệm cận xiên với hai trục tọa độ Ox, Oy.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông để thiết lập phương trình ẩn m.

Giải phương trình tìm m, đối chiếu với điều kiện (nếu có) và tính tổng các phần tử của tập hợp S.

Giải chi tiết

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên (tức là không bị suy biến thành đường thẳng) là nghiệm của mẫu số không phải là nghiệm của tử số:

$\left. 2{( - 1)}^{2} + m( - 1) - 2 \neq 0\Leftrightarrow - m \neq 0\Leftrightarrow m \neq 0 \right.$.

Biến đổi hàm số:

$y = \dfrac{2x^{2} + mx - 2}{x + 1} = \dfrac{2x(x + 1) + (m - 2)(x + 1) - m}{x + 1} = 2x + m - 2 - \dfrac{m}{x + 1}$.

Vì $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\lbrack y - (2x + m - 2)\rbrack = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left( {- \dfrac{m}{x + 1}} \right) = 0$ nên đường thẳng $(d):y = 2x + m - 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Gọi A là giao điểm của tiệm cận xiên (d) với trục Oy.

Cho $\left. x = 0\Rightarrow y = m - 2 \right.$.

Suy ra $\left. A(0;m - 2)\Rightarrow OA = \middle| m - 2 \right|$.

Gọi B là giao điểm của tiệm cận xiên (d) với trục Ox.

Cho $\left. y = 0\Rightarrow 2x + m - 2 = 0\Rightarrow x = \dfrac{2 - m}{2} \right.$.

Suy ra $\left. B\left( {\dfrac{2 - m}{2};0} \right)\Rightarrow OB = \left| \dfrac{2 - m}{2} \right| = \dfrac{\left| {m - 2} \right|}{2} \right.$.

Tam giác OAB tạo bởi tiệm cận xiên và hai trục tọa độ là tam giác vuông tại O, có diện tích là:

$S_{\Delta OAB} = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot \left| {m - 2} \right| \cdot \dfrac{\left| {m - 2} \right|}{2} = \dfrac{{(m - 2)}^{2}}{4}$.

Theo giả thiết bài toán, diện tích tam giác bằng 4 nên ta có phương trình:

$\dfrac{{(m - 2)}^{2}}{4} = 4$

$\left. \Leftrightarrow{(m - 2)}^{2} = 16 \right.$

$\left. \Leftrightarrow m - 2 = 4 \right.$ hoặc $m - 2 = - 4$

$\left. \Leftrightarrow m = 6 \right.$ (thỏa mãn điều kiện $m \neq 0$) hoặc $m = - 2$ (thỏa mãn điều kiện $m \neq 0$).

Vậy tập hợp các giá trị của m là $S = \left\{ 6; - 2 \right\}$.

Tổng giá trị các phần tử của S là: $6 + ( - 2) = 4$.

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.