Cho hàm số $f(x) = x^{2}{(1 - x)}^{2}$, tính giá trị của biểu thức: $T = f\left( \dfrac{1}{2025} \right) -

Câu hỏi số 965154:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = x^{2}{(1 - x)}^{2}$, tính giá trị của biểu thức: $T = f\left( \dfrac{1}{2025} \right) - f\left( \dfrac{2}{2025} \right) + f\left( \dfrac{3}{2025} \right) - f\left( \dfrac{4}{2025} \right) + ... + f\left( \dfrac{2023}{2025} \right) - f\left( \dfrac{2024}{2025} \right)$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 0

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965154

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đối xứng của hàm số: chứng minh $f(x) = f(1 - x)$.

Nhận xét số lượng các số hạng trong tổng T và dấu của chúng.

Ghép cặp các số hạng $f\left( \dfrac{k}{2025} \right)$ và $f\left( \dfrac{2025 - k}{2025} \right)$ để triệt tiêu lẫn nhau.

Giải chi tiết

Ta có $f(1 - x) = {(1 - x)}^{2}{(1 - (1 - x))}^{2} = {(1 - x)}^{2}x^{2} = f(x)$ với mọi $x$.

Áp dụng tính chất trên, ta có $f\left( \dfrac{k}{2025} \right) = f\left( {1 - \dfrac{k}{2025}} \right) = f\left( \dfrac{2025 - k}{2025} \right)$ với $k \in {\mathbb{N}},1 \leq k \leq 2024$.

Biểu thức T là tổng đan dấu của 2024 số hạng. Số hạng ứng với k mang dấu dương nếu k lẻ và mang dấu âm nếu k chẵn.

Xét hai số hạng ở vị trí k và $2025 - k$.

Tổng hai chỉ số là $k + 2025 - k = 2025$ là một số lẻ, do đó $k$ và $2025 - k$ luôn khác tính chẵn lẻ.

Suy ra hai số hạng này luôn mang dấu trái ngược nhau trong biểu thức T.

Biểu thức T có 2024 số hạng (từ 1 đến 2024), ta nhóm thành 1012 cặp từ ngoài vào trong như sau:

$\begin{array}{l} {T = \left( {f\left( \dfrac{1}{2025} \right) - f\left( \dfrac{2024}{2025} \right)} \right) - \left( {f\left( \dfrac{2}{2025} \right) - f\left( \dfrac{2023}{2025} \right)} \right) + \left( {f\left( \dfrac{3}{2025} \right) - f\left( \dfrac{2022}{2025} \right)} \right)} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\, - ... + \left( {f\left( \dfrac{1011}{2025} \right) - f\left( \dfrac{1014}{2025} \right)} \right) - \left( {f\left( \dfrac{1012}{2025} \right) - f\left( \dfrac{1013}{2025} \right)} \right)} \end{array}$

Vì $f\left( \dfrac{k}{2025} \right) = f\left( \dfrac{2025 - k}{2025} \right)$ nên giá trị của mỗi biểu thức trong ngoặc đều bằng $0$.

Suy ra $T = 0 - 0 + 0 - ... + 0 - 0 = 0$.

Đáp án cần điền là: 0

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.