Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $S(1;2;3)$ và các điểm A,B,C lần lượt thuộc các trục

Câu hỏi số 965156:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $S(1;2;3)$ và các điểm A,B,C lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz sao cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp S.ABC. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 9,53

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965156

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện hai vectơ vuông góc: $\left. \overset{\rightarrow}{u}\bot\overset{\rightarrow}{v}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v} = 0 \right.$.

Thể tích khối chóp có ba cạnh bên đôi một vuông góc với nhau là: $V = \dfrac{1}{6} \cdot SA \cdot SB \cdot SC$.

Giải chi tiết

Vì các điểm A, B, C lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz nên ta gọi tọa độ các điểm là $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$.

Ta có tọa độ các vectơ:

$\overset{\rightarrow}{SA} = (a - 1; - 2; - 3)$

$\overset{\rightarrow}{SB} = ( - 1;b - 2; - 3)$

$\overset{\rightarrow}{SC} = ( - 1; - 2;c - 3)$

Vì hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{SA} \cdot \overset{\rightarrow}{SB} = 0} \\ {\overset{\rightarrow}{SB} \cdot \overset{\rightarrow}{SC} = 0} \\ {\overset{\rightarrow}{SC} \cdot \overset{\rightarrow}{SA} = 0} \end{array} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {(a - 1)( - 1) + ( - 2)(b - 2) + ( - 3)( - 3) = 0} \\ {( - 1)( - 1) + (b - 2)( - 2) + ( - 3)(c - 3) = 0} \\ {( - 1)(a - 1) + ( - 2)( - 2) + (c - 3)( - 3) = 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {- a + 1 - 2b + 4 + 9 = 0} \\ {1 - 2b + 4 - 3c + 9 = 0} \\ {- a + 1 + 4 - 3c + 9 = 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a + 2b = 14} \\ {2b + 3c = 14} \\ {a + 3c = 14} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 7} \\ {b = \dfrac{7}{2}} \\ {c = \dfrac{7}{3}} \end{array} \right. \right.$

Ta tính độ dài các cạnh SA, SB, SC:

$SA = \sqrt{{(7 - 1)}^{2} + {( - 2)}^{2} + {( - 3)}^{2}} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$

$SB = \sqrt{{( - 1)}^{2} + \left( {\dfrac{7}{2} - 2} \right)^{2} + {( - 3)}^{2}} = \sqrt{1 + \dfrac{9}{4} + 9} = \sqrt{\dfrac{49}{4}} = \dfrac{7}{2}$

$SC = \sqrt{{( - 1)}^{2} + {( - 2)}^{2} + \left( {\dfrac{7}{3} - 3} \right)^{2}} = \sqrt{1 + 4 + \dfrac{4}{9}} = \sqrt{\dfrac{49}{9}} = \dfrac{7}{3}$

Thể tích khối chóp S.ABC là: $V = \dfrac{1}{6} \cdot SA \cdot SB \cdot SC = \dfrac{1}{6} \cdot 7 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{343}{36} \approx 9,53$

Đáp án cần điền là: 9,53

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.