Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm $A(3;0;0)$ , $B( - 3;0;0)$ và $C(0;5;1)$. Gọi

Câu hỏi số 965157:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm $A(3;0;0)$ , $B( - 3;0;0)$ và $C(0;5;1)$. Gọi M là một điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho $MA + MB = 10$, giá trị nhỏ nhất của MC bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1,42

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965157

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa đường elip để tìm tập hợp điểm M trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Sử dụng hình chiếu vuông góc để đưa bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ một điểm nằm ngoài elip đến một điểm nằm trên elip đó.

Dùng phương pháp tham số hóa tọa độ điểm trên elip hoặc đánh giá hàm số để tìm giá trị cực trị.

Giải chi tiết

Điểm M nằm trên mặt phẳng tọa độ Oxy nên M có tọa độ dạng $M(x;y;0)$.

Hai điểm $A(3;0;0)$ và $B( - 3;0;0)$ cùng nằm trên trục Ox thuộc mặt phẳng Oxy.

Độ dài đoạn thẳng $AB = \sqrt{{( - 3 - 3)}^{2} + 0^{2} + 0^{2}} = 6$.

Theo giả thiết $MA + MB = 10 > AB$.

Suy ra tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện là một đường elip (E) nằm trong mặt phẳng Oxy, nhận A và B làm hai tiêu điểm.

Trung điểm của AB là gốc tọa độ $O(0;0;0)$, đây cũng là tâm của elip.

Trục lớn của elip có độ dài $\left. 2a = 10\Rightarrow a = 5 \right.$.

Tiêu cự của elip là $\left. 2c = AB = 6\Rightarrow c = 3 \right.$.

Bán trục nhỏ là $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$.

Phương trình của elip (E) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là: $\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1$.

Gọi C' là hình chiếu vuông góc của điểm $C(0;5;1)$ lên mặt phẳng Oxy, ta có tọa độ $C'(0;5;0)$ và độ dài $CC' = 1$.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác MCC' vuông tại C', ta có: $MC^{2} = M{C'}^{2} + C{C'}^{2} = M{C'}^{2} + 1$.

Để độ dài MC đạt giá trị nhỏ nhất thì bình phương độ dài đoạn MC' phải đạt giá trị nhỏ nhất, với $M \in (E)$.

Vì $M \in (E)$ nên ta có thể tham số hóa tọa độ của M theo biến t là $M(5\cos t;4\sin t)$ với $t \in \lbrack 0;2\pi\rbrack$.

Bình phương khoảng cách $M{C'}^{2} = {(5\cos t - 0)}^{2} + {(4\sin t - 5)}^{2}$

$M{C'}^{2} = 25\cos^{2}t + 16\sin^{2}t - 40\sin t + 25$

$M{C'}^{2} = 25(1 - \sin^{2}t) + 16\sin^{2}t - 40\sin t + 25$

$M{C'}^{2} = - 9\sin^{2}t - 40\sin t + 50$.

Đặt $u = \sin t$ với điều kiện $u \in \lbrack - 1;1\rbrack$.

Hàm số khoảng cách trở thành $f(u) = - 9u^{2} - 40u + 50$.

Đạo hàm $f'(u) = - 18u - 40$.

Vì $u \in \lbrack - 1;1\rbrack$ nên $- 18u \leq 18$, suy ra $f'(u) \leq 18 - 40 = - 22 < 0$ với mọi u.

Do $f'(u) < 0$, hàm số $f(u)$ luôn nghịch biến trên đoạn $\lbrack - 1;1\rbrack$.

Giá trị nhỏ nhất của $f(u)$ trên đoạn này đạt được tại $u = 1$.

Khi đó $\min M{C'}^{2} = f(1) = - 9{(1)}^{2} - 40(1) + 50 = 1$.

Từ đó, giá trị nhỏ nhất của $MC^{2}$ là $\min MC^{2} = 1 + 1 = 2$.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của MC bằng $\sqrt{2} \approx 1,42$.

Đáp án cần điền là: 1,42

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.