Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'

Câu hỏi số 965158:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có $A(\sqrt{3};0;1)$, hai đỉnh B,C thuộc trục Oz và $AA' = 1$. Biết $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A'C , C không trùng O và A' có tung độ dương. Tính $T = a^{2} + b^{2}$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 16

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:965158

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa hình lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.

Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A lên trục Oz để xác định các yếu tố của tam giác đáy.

Sử dụng độ dài đường cao của tam giác đều và tính chất trung điểm để tìm tọa độ các đỉnh B, C.

Dựa vào tính chất lăng trụ đứng và độ dài cạnh bên để xác định tọa độ đỉnh A'.

Tìm tọa độ vectơ $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}C}$ và sử dụng điều kiện hai vectơ cùng phương để xác định các hệ số a, b, từ đó tính giá trị T.

Giải chi tiết

Hai đỉnh B, C thuộc trục Oz nên đường thẳng BC trùng với trục Oz.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của $A(\sqrt{3};0;1)$ lên trục Oz, ta có tọa độ $H(0;0;1)$.

Khoảng cách từ A đến trục Oz là độ dài đoạn thẳng $AH = \sqrt{{(\sqrt{3} - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = \sqrt{3}$.

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều nên tam giác ABC là tam giác đều và AH là đường cao của tam giác đó.

Gọi x là độ dài cạnh của tam giác đều ABC, ta có $AH = \dfrac{x\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\left. \dfrac{x\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\Rightarrow x = 2 \right.$. Do đó $BC = 2$.

Trong tam giác đều ABC, đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Vì B, C thuộc trục Oz nên tọa độ của chúng có dạng $B(0;0;z_{B})$ và $C(0;0;z_{C})$.

Vì $H(0;0;1)$ là trung điểm của BC và độ dài đoạn $BC = 2$ nên ta có hệ phương trình:

$\dfrac{z_{B} + z_{C}}{2} = 1$ và $\left| {z_{B} - z_{C}} \right| = 2$.

Giải hệ phương trình này, ta tìm được hai điểm trên trục Oz có cao độ là 0 và 2.

Vì C không trùng với gốc tọa độ $O(0;0;0)$ nên ta suy ra $C(0;0;2)$ và $B(0;0;0)$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm A, B, C nằm hoàn toàn trong mặt phẳng tọa độ Oxz (mặt phẳng có phương trình $y = 0$).

Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overset{\rightarrow}{j} = (0;1;0)$.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ tam giác đều nên nó là lăng trụ đứng, suy ra đường thẳng AA' vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC).

Do đó, vectơ $\overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}$ cùng phương với vectơ $\overset{\rightarrow}{j}$.

Vì độ dài cạnh bên $AA' = 1$ nên $\overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = (0;1;0)$ hoặc $\overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = (0; - 1;0)$.

Ta có điểm $A' = A + \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}$.

Thay tọa độ điểm A vào, ta được $A'(\sqrt{3};1;1)$ hoặc $A'(\sqrt{3}; - 1;1)$.

Theo giả thiết bài toán, điểm A' có tung độ dương nên ta chọn $A'(\sqrt{3};1;1)$.

Ta tính được tọa độ vectơ $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}C} = (0 - \sqrt{3};0 - 1;2 - 1) = ( - \sqrt{3}; - 1;1)$.

Đường thẳng A'C có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;2)$.

Vì $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}C}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng A'C nên hai vectơ này cùng phương với nhau.

Tức là tồn tại một số thực $k \neq 0$ sao cho $\overset{\rightarrow}{u} = k\overset{\rightarrow}{A^{\prime}C}$, tương đương với $(a;b;2) = k( - \sqrt{3}; - 1;1) = ( - k\sqrt{3}; - k;k)$.

Đồng nhất tọa độ thứ ba của hai vectơ, ta thu được $k = 2$.

Thay $k = 2$ vào các tọa độ còn lại, ta tính được $a = - 2\sqrt{3}$ và $b = - 2$.

Cuối cùng, tính giá trị biểu thức $T = a^{2} + b^{2} = {( - 2\sqrt{3})}^{2} + {( - 2)}^{2} = 12 + 4 = 16$.

Đáp án cần điền là: 16

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.