Giải hệ phương trình:

Phương trình, Bất PT và hệ PT mũ và lôgarit

Câu hỏi số 9658:

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}log_{2}x.log_{2}y.log_{2}(xy)=6\\log_{2}y.log_{2}z.log_{2}(yz)=30\\log_{2}z.log_{2}x.log_{2}(xz)=12\end{matrix}\right.$

A. Nghiệm của hệ phương trình là: $\left\{\begin{matrix}x=3^{a}\\y=2^{b}\\z=2^{c}\end{matrix}\right.$ .

B. Nghiệm của hệ phương trình là: $\left\{\begin{matrix}x=3^{a}\\y=3^{b}\\z=2^{c}\end{matrix}\right.$ .

C. Nghiệm của hệ phương trình là: $\left\{\begin{matrix}x=3^{a}\\y=3^{b}\\z=3^{c}\end{matrix}\right.$ .

D. Nghiệm của hệ phương trình là: $\left\{\begin{matrix}x=2^{a}\\y=2^{b}\\z=2^{c}\end{matrix}\right.$ .; $\left\{\begin{matrix}x=2\\y=4\\z=8\end{matrix}\right.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:9658

Giải chi tiết

Với x, y , z > 0 để các loogarít tồn tại, đặt a = log₂x, b = log₂y, c = log₂z ta có hệ tương đương: $\left\{\begin{matrix}ab(a+b)=6\\bc(b+c)=30\\ca(c+a)=12\end{matrix}\right.$

Để ý: (a + b)(b + c)(c + a) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc.

Nhân cả 3 p/t ta có: (abc)²(48 + 2abc) = 2160⇔(abc)³ + 24(abc)² – 1080 = 0

⇔(abc – 6)[(abc)² + 30(abc) + 180] = 0

=> $\begin{bmatrix}abc=6\\abc=-15-3\sqrt{5}\\abc=-15+3\sqrt{5}\end{bmatrix}$

Với abc = 6, ta có: $\left\{\begin{matrix}a+b=c\\b+c=5a\\abc=6\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}b=2a\\c=3a\\abc=6\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}x=2\\y=4\\z=8\end{matrix}\right.$

Với abc = -15±3√5 = m, ta có:

⇔ $\left\{\begin{matrix}a+b=\frac{6c}{m}\\b+c=\frac{30a}{m}\\abc=m\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}b=\frac{180-m^{2}}{m(m+6)}a\\c=\frac{m+30}{m+6}a\\abc=m\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{\frac{m^{2}(m+6)^{2}}{(m+30)(180-m^{2})}}\\b=\sqrt[3]{\frac{(180-m^{2})^{2}}{m(m+6)(m+30)}}\\c=\sqrt[3]{\frac{m^{2}(m+30)^{2}}{(m+6)(180-m^{2})}}\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}x=2^{a}\\y=2^{b}\\z=2^{c}\end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.