Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2 ; 0 ; -5), B(-3 ; -13 ; 7). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và tạo với mặt phẳng Oxz một góc nhỏ nhất

Câu hỏi số 9740:

A. 5x – 13y – 12z + 70 = 0

B. -5x – 13y – 12z - 70 = 0

C. 5x – 13y – 12z - 70 = 0

D. 5x + 13y – 12z - 70 = 0

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:9740

Giải chi tiết

Gọi $\overrightarrow{n}$ = (a ; b ; c) (a² + b² + c² ≠ 0) là vtpt của mặt phẳng (P), thì vì (P) đi qua A, B nên $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$ = (-5 ; -13 ; 12)

⇒ $\overrightarrow{n}$ . $\overrightarrow{AB}$ = 0 ⇒ -5a - 13b + 12c = 0 ⇒ b = $\frac{-5a+12c}{13}$

Gọi φ là góc giữa mp (P) và mp (Oxz) thì cosφ = $\frac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{j}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{j}|}$ , trong đó $\overrightarrow{j}$ = (0 ; 1 ; 0) là vtpt của mặt phẳng (Oxz). Vậy cosφ = $\frac{|b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Nếu b = 0 thì cosφ = 0 ⇒ φ = 90⁰ có giá trị lớn nhất.

Nếu b ≠ 0 thì:

cosφ = $\frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{b^{2}}}}$ = $\frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}}{b^{2}}}}$ = $\frac{1}{\sqrt{\frac{169(a^{2}+c^{2})}{(-5a+12c)^{2}}+1}}$

Ta có: (-5a + 12c)² ≤ (25 + 144) (a² + c²) = 169(a² + c²), nên

cosφ ≤ $\sqrt{\frac{1}{1+1}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ⇒ φ ≥ 45⁰

Dấu “=” xảy ra khi -12a = 5c. Chọn a = 5 thì c = -12 và b = -13

Vậy pt mp (P) là: 5(x – 2) - 13y – 12(z + 5) = 0 ⇔ 5x – 13y – 12z - 70 = 0

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.