Cho các số thực x, y thây đổi nhưng luôn thỏa mãn x + y - 3 = 4( + ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 9847:

Cho các số thực x, y thây đổi nhưng luôn thỏa mãn x + y - 3 = 4( $\sqrt{x-3}$ + $\sqrt{y+1}$ ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = $\frac{1}{x-2}$ + $\frac{1}{y+2}$

A. maxM = 1 + $\frac{1}{10+4\sqrt{5}}$ minM = $\frac{4}{19+12\sqrt{2}}$

B. maxM = 1 - $\frac{1}{10+4\sqrt{5}}$ minM = $\frac{4}{19+12\sqrt{2}}$

C. maxM = 1 + $\frac{1}{10+4\sqrt{5}}$ minM = $\frac{-4}{19+12\sqrt{2}}$

D. maxM = 1 + $\frac{1}{10-4\sqrt{5}}$ minM = $\frac{4}{19+12\sqrt{2}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:9847

Giải chi tiết

Đặt $\sqrt{x-3}$ = a, $\sqrt{y+1}$ = b, với a, b ≥ 0. Giả thiết

x + y - 3 = 4( $\sqrt{x-3}$ + $\sqrt{y+1}$ ) ta có

a² + b² = 4(a + b) + 1 ⇔ (a + b)² – 4(a + b) = 2ab + 1 (1)

Bài toán trở về tìm Max, min của M = $\frac{1}{a^{2}+1}$ + $\frac{1}{b^{2}+1}$ với điều kiện (1) và a, b ≥ 0

Lại đặt a + b = S, ab = P. Điều kiện (1) ⇒ a² + b² = 4S + 1 và S² – 4S – 1 = 2P (1’)

Kết hợp (1’) và điều kiện phương trình t² – St + P = 0 có 2 nghiệm không âm ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} S^{2}\geq 4P;S\geq 0;P\geq 0\\S^{2}-4S-1=2P \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} S^{2}\geq 2(S^{2}-4S-1)\\S\geq 0;S^{2}-4S-1\geq 0 \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix} S^{2}-8S-2\leq 0\\ S\geq 0;S^{2}-4S-1\geq 0 \end{matrix}\right.$ ⇔ 2 + √5 ≤ S ≤ 4 + 3√2 (2)

Có $\frac{1}{u}$ + $\frac{1}{v}$ ≥ $\frac{4}{u+v}$ với u, v > 0 nên M ≥ $\frac{4}{a^{2}+b^{2}+2}$ = $\frac{4}{4S+3}$

(do a² + b² = 4S + 1)

Mà có (2) nên M ≥ $\frac{4}{4(4+3\sqrt{2})+3}$ ⇒ minM = $\frac{4}{19+12\sqrt{2}}$ khi a = b = 2 + $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

M = $\frac{1}{a^{2}+1}$ + $\frac{1}{b^{2}+1}$ = $\frac{a^{2}+b^{2}+2}{a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}+1}$ = $\frac{4S+3}{4S+2+P^{2}}$ (do a² + b² = 4S + 1)

P² ≥ 0 ⇒ M ≤ $\frac{4S+3}{4S+2}$ = 1 + $\frac{1}{4S+2}$ ≤ 1 + $\frac{1}{4(2+\sqrt{5})+2}$ ⇒ maxM = 1 + $\frac{1}{10+4\sqrt{5}}$

Đạt được khi a = 0, b = 2 + √5 hoặc ngược lại

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.