Cho hình nón có góc ở đỉnh \({{60}^{0}},\) diện tích xung quanh bằng \(6\pi {{a}^{2}}.\) Tính thể
Cho hình nón có góc ở đỉnh \({{60}^{0}},\) diện tích xung quanh bằng \(6\pi {{a}^{2}}.\)
Tính thể tích \(V\) của khối nón đã cho.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng giả thiết ta lập được một hệ phương trình cho bán kính đáy và độ dài đường sinh. Áo dụng định lý Py-ta-go để tìm được độ dài đường cao của nón. Áp dụng công thức thể tích để tìm thể tích của nón.
Gọi \(r,l\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của nón.
Khi đó theo công thức diện tích xung quanh ta có \({{S}_{xq}}=\pi .rl.\) Mặt khác \({{S}_{xq}}=6\pi {{a}^{2}}.\)
Do đó \(rl=6{{a}^{2}}\,\,\left( 1 \right).\)
Hạ đường cao \(AO\) xuống đáy. Khi đó theo giả thiết ta có \(\widehat{IAO}={{30}^{0}}.\)
Trong tam giác vuông \(AIO\) ta có \(\sin \widehat{IAO}=\frac{IO}{IA}\Rightarrow \sin {{30}^{0}}=\frac{r}{l}\Rightarrow l=2r\,\,\left( 2 \right).\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}rl = 6{a^2}\\l = 2r\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = a\sqrt 3 \\l = 2a\sqrt 3 \end{array} \right..\)
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \(IAO\) ta nhận được \(A{{O}^{2}}=I{{A}^{2}}-I{{O}^{2}}={{l}^{2}}-{{r}^{2}}={{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=9{{a}^{2}}\Rightarrow AO=3a.\)
Thể tích khối nón là \(V=\frac{1}{3}.AO.{{S}_{\left( O,r \right)}}=\frac{1}{3}.\left( 3a \right).\pi {{r}^{2}}=a.\pi {{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=3\pi {{a}^{3}}.\)
Chọn đáp án C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
